РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1398 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник с углом 60° или 120°, Методы геометрии. Свойства медиан, высот, биссектрис, ср. линий, Методы геометрии. Теорема синусов

Точка P лежит на стороне BC треугольника ABC с углом 60° при вершине A. В треугольники APB и APC вписаны окружности с центрами D и T соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADT, если $PD=7,$ $PT=4.$

Решение.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому лучи PT и PD являются биссектрисами углов CPA и BPA. Поскольку угол между биссектрисами смежных углов прямой, то $\angle D P T=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ и тогда по теореме Пифагора находим, что

$D T= корень из: начало аргумента: P D в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс P T в квадрате правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$

Так как AD и AT  — биссектрисы углов BAP и CAP, то

$\angle D A T=\angle D A P плюс \angle T A P= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle B A P плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle C A P= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle B A C=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

По обобщённой теореме синусов для треугольника ADT находим, что искомый радиус равен

$дробь: числитель: D T, знаменатель: 2 синус \angle D A T конец дроби = корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$

Ответ: $корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Доказано, что отрезок, соединяющий центры окружностей, виден из основания биссектрисы под прямым углом — 1 балл.

Найден отрезок, соединяющий центры окружностей — 1 балл.

Найден угол искомого треугольника, лежащий напротив отрезка, соединяющего центры окружностей

Ответ: $корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$

Аналоги к заданию № 1392: 1398 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе