Всего: 197 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
В треугольнике ABC на стороне BC отмечена такая точка D, что BD : DC = 1 : 5, а на стороне AC — точки E и K, причем точка E лежит между точками A и K. Отрезок AD пересекается с отрезками BE и BK в точках M и N соответственно, причем BM : ME = 3 : 4, BN : NK = 2 : 3. Найдите отношение AM : ND.
и 
После сокращения общей площади останется неравенство 
и 
соответственно. Осталось доказать, что 
и 
можно переписать в виде 
что верно, поскольку 
(иначе точка пересечения AB и A1B1 будет лежать за точкой A).
) проведены биссектрисы LA и KB углов KLM и LKM соответственно. Найдите величину угла KBA.
Точки M и N середины сторон AB и BC соответственно. Найдите угол DNM.
Поэтому треугольник BMD равнобедренный и 
Стало быть, 
и, значит, четырехугольник MLND — вписанный. Тогда 
так как они опираются на одну дугу. Осталось заметить, что поскольку ML — средняя линия в прямоугольном треугольнике ABD, прямая ML параллельна прямой AD и, значит, 
В остроугольном треугольнике ABC опущены высоты BD и CE. Внутри треугольника взята точка X. Пусть X1 — точка, симметричная X относительно прямой AB, X2 — точка, симметричная X1 относительно прямой BC, а X3 — точка, симметричная X2 относительно прямой CA. Точка M — середина отрезка XX3. Докажите, что точки D, E и M лежат на одной прямой.
Аналогично KL — средняя линия в треугольнике BX2X3, поэтому 
На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечена точка P, не лежащая на диагонали AC. На луче AP взята такая точка Q, что AP = PQ. Через точку Q провели прямую, параллельную стороне AB, она пересекла сторону BC в точке R. Затем через точку Q провели прямую, параллельную стороне AD, она пересекла прямую CD в точке S. Найдите угол PRS.
В силу подобия треугольников DKP и DMN 
Таким образом, точки S, R и P лежат на одной прямой.
отрезок OP — средняя линия треугольника AQC. Поэтому отрезок OP параллелен отрезку CQ и 
Тогда четырехугольник OPNC является параллелограммом, откуда прямая PN параллельна OC. Треугольники ABD и RQC подобны, поскольку их соответствующие стороны параллельны. Следовательно, 
Таким образом, прямая RS параллельна AC, а по доказанному выше она параллельна и PN. Поскольку у прямых RS и PN есть общая точка N, они совпадают, откуда 
1.1 Пусть точка T такова, что TL является биссектрисой треугольника ATC. Докажите, что тогда ТК является внешней биссектрисой того же треугольника.
Развернуть
1 — описанная окружность треугольника AHC, 
Из чего очевидно следует утверждение задачи.
а 
Так как AHCX — вписанный четырёхугольник, 
Значит, 
а X симметрична B относительно 
см,
см;
см.
—
и 
отсюда 
По формуле Герона 
то 
и 
где 
следовательно, 
и 
то есть 
значит, точка L лежит между M и B. Отсюда
значит,
б) 
пересекает сторону ВС в точке N, а АК и DN пересекаются в точке Р. Найдите величину угла DРВ в градусах.
где AН и CD — высоты.
дальнейшее решение неверно или отсутствует.В прямоугольной трапеции ABCD, где сторона BC параллельна основанию AD, угол А равен 60°. На стороне CD выбирается точка К так, что 
при этом AD = CD. Прямая BN пересекает сторону СD в точке N, а отрезки АК и BN пересекаются в точке Р. Найдите величину угла DРВ в градусах, если KN : ND = 
и 
следует что прямая BN — биссектриса угла KBD.
проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1. Отрезок A1B1 пересекает биссектрису CC1 в точке M. Найти градусную меру угла B1MC.
а значит точка A1 равноудалена от сторон B1B и BK. Учитывая, что точка A1 лежит на биссектрисе 
а значит и равноудалена от его сторон получаем, что A1 равноудалена от сторон B1B и B1C, а значит лежит на биссектрисе 
Аналогично доказываем, что B1C1 биссектриса 
Следовательно, 
как угол между биссектрисами смежных углов.
следовательно, 
Далее, 
как опирающиеся на одну дугу. 
проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1. Отрезок A1B1 пересекает биссектрису CC1 в точке M. Найти градусную меру угла B1BM.
а значит точка A1 равноудалена от сторон B1B и BK. Учитывая, что точка A1 лежит на биссектрисе 
и 
вычислим величину углов 
Эти углы являются внешними для треугольника AOC. И, значит, 
(радиус вписанной окружности) и 
(по условию). Отсюда следует, что 
и 
для всех этих четырех случаев. 
(равнобедренный треугольник);
(равнобедренный треугольник);
в которую вписана окружность с центром O. Прямая BO пересекает нижнее основание AD в точке M. Докажите соотношение для площадей:
и осталось доказать, что 
по свойству вписанной в четырехугольник окружности, откуда следует результат. (см. также способ решения в задаче 
поскольку O лежит на средней линии трапеции, и 
—
Найдите периметр треугольника ABC, если 
Тогда, получаем 
Медианы AMa, BMb и CMc треугольника ABC пересекаются в точке M. Окружность 
проходит через середину отрезка AM и касается стороны BC в точке Ma. Аналогично, окружность 
проходит через середину отрезка BM и касается стороны CA и 
Докажите, что точки X, Y и Mc лежат на одной прямой.
(М. Попов)
и 
соответственно, то 
и 
Воспользуемся формулой длины медианы через стороны треугольника
а значит 
лежит на радикальной оси 
и 
Докажите, что 
и 
то треугольники BAC и ADC подобны по двум углам. Следовательно, соответствующие медианы в подобных треугольниках разбивают соответствующие углы на равны части. Поэтому 
и 
Аналогично, 
поэтому четырехугольник 
вписанный. Но тогда 
Так как MN — средняя линия треугольника ABD, то получаем 