РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2319 Добавить в вариант

В треугольнике KLM ( $\angleL=120 градусов$ ) проведены биссектрисы LA и KB углов KLM и LKM соответственно. Найдите величину угла KBA.

Спрятать решение

Решение.

1)  Пусть KS продолжение KL за точу L.Тогда LM биссектриса угла MLS, так как

$\angle M L S=\angle M L A=\angle A L K=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Точка В  — пересечение биссектрис LM и КB углов SLA и SKM соответственно пересечение биссектрис внешних углов треугольника KLA, следовательно, АB биссектриса угла LAM.

2)  Аналогично доказывается, что AC  — биссектриса угла LAK, но углы LAM и LAK  — смежные, отсюда $\angle C A B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

3)  В треугольнике KLA: E  — точка пересечения биссектрис

$\angle K E A= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle K L A плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow \angle B E A=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle K E A= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle K L A плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow \angle B E A=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

4)  В треугольнике ВEA:

$\angle A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка \Rightarrow \angle B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: $\angle K B A=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы
20	Обоснованное и грамотно выполненное решение задачи.
12	При верном и обоснованном ходе решения имеется арифметическая ошибка или решение недостаточно обосновано.
5	Верно начато решение задачи, получены некоторые промежуточные результаты, дальнейшее решение неверно или отсутствует.
0	Решение не соответствует вышеперечисленным требованиям.

Олимпиада Шаг в будущее, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник с углом 60° или 120°, Методы геометрии. Свойства медиан, высот, биссектрис, ср. линий

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь