РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2300 Добавить в вариант

Пусть M  — точка пересечения медиан треугольника ABC. Проходящая через M прямая пересекает отрезки BC и CA в точках A₁ и B₁ соответственно. Точка K  — середина стороны AB. Докажите, что $9S_KA_1B_1 больше или равно 2S_ABC.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть прямые AB и A₁B₁ пересекаются в точке T, и пусть для определенности это произошло за точкой B. Поскольку точка пересечения медиан M делит медиану CK в отношении 2 : 1, высоты, опущенные из точек C и K на прямую A₁B₁, также относятся как 2 : 1. Тогда $2 S_\triangle K A_1 B_1=S_\triangle C A_1 B_1$ и

$S_K A_1 C B_1=S_\triangle K A_1 B_1 плюс S_\triangle C A_1 B_1=3 S_\triangle K A_1 B_1.$

Поэтому нужно доказать неравенство $3 S_K A_1 C B_1 больше или равно 2 S_\triangle A B C.$ После сокращения общей площади останется неравенство

$3 левая круглая скобка S_\triangle A A_1 K плюс S_\triangle B B_1 K правая круглая скобка меньше или равно S_\triangle A B C=3 S_\triangle M A B$

или, что тоже самое, неравенство

$S_\triangle A A_1 K плюс S_\triangle B B_1 K меньше или равно 2 S_\triangle M A B.$

Если увеличить основания треугольников AA₁K и BB₁K в два раза до отрезка AB, то площадь также увеличится в два раза, поэтому требуемое неравенство примет вид

$S_\triangle A A_1 B плюс S_\triangle B B_1 A меньше или равно 2 S_\triangle M A B.$

Поскольку это треугольники с одинаковым основанием, достаточно проверить соответствующее неравенство для высот.

Пусть высоты, опущенные на прямую AB из точек A₁, B₁ и M, имеют основание $A_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ $B_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и $M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ соответственно. Осталось доказать, что

$A_1 A_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка плюс B_1 B_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка меньше или равно 2 M M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$

Это неравенство из-за подобия треугольников $T A_1 A_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ $T B_1 B_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и $T M M в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ можно переписать в виде $T A_1 плюс T B_1 меньше или равно 2 T M,$ что верно, поскольку $M B_1 меньше или равно M A_1$ (иначе точка пересечения AB и A₁B₁ будет лежать за точкой A).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Неравенства, оценки, минимаксные задачи, Методы геометрии. Свойства медиан, высот, биссектрис, ср. линий

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь