На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечена точка P, не лежащая на диагонали AC. На луче AP взята такая точка Q, что AP = PQ. Через точку Q провели прямую, параллельную стороне AB, она пересекла сторону BC в точке R. Затем через точку Q провели прямую, параллельную стороне AD, она пересекла прямую CD в точке S. Найдите угол PRS.
Пусть T — точка пересечения прямых AB и SQ, а прямая QR пересекает отрезки AD и BD в точках M и N соответственно. Так как AMQT — параллелограмм, отрезок TM проходит через точку P и делится в ней пополам. Значит, треугольник TBP равен треугольнику MNP, откуда
Обозначим через K и L середины отрезков AM и TQ соответственно. Треугольники APK и QPL равны по стороне и двум углам, что дает 
В силу подобия треугольников DKP и DMN
Поэтому треугольники PLS и RQS подобны, и мы получаем 
Таким образом, точки S, R и P лежат на одной прямой.
Ответ: 180°.
Приведем другое решение.
Пусть O и N — точки пересечения диагоналей параллелограммов ABCD и RQSC соответственно. Так как 
отрезок OP — средняя линия треугольника AQC. Поэтому отрезок OP параллелен отрезку CQ и 
Тогда четырехугольник OPNC является параллелограммом, откуда прямая PN параллельна OC. Треугольники ABD и RQC подобны, поскольку их соответствующие стороны параллельны. Следовательно,
Поэтому треугольники ADC и RCS также подобны и, значит, 
Таким образом, прямая RS параллельна AC, а по доказанному выше она параллельна и PN. Поскольку у прямых RS и PN есть общая точка N, они совпадают, откуда 