РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2333 Добавить в вариант

Внутри треугольника ABC выбрана такая точка D, что $∠\angle BD = \angle ACD и \angle ADB = 90 градусов.$   Точки M и N середины сторон AB и BC соответственно. Найдите угол DNM.

Спрятать решение

Решение.

Пусть L  — середина отрезка BD. Тогда LN  — средняя линия в треугольнике BCD, поэтому прямая LN параллельна DC. Аналогично MN  — средняя линия в треугольнике ABC, поэтому прямая MN параллельна прямой AC. Следовательно,

$\angle M N L=\angle A C D=\angle A B D.$

Поскольку M  — середина гипотенузы прямоугольного треугольника ABD, $A M=M B=M D.$ Поэтому треугольник BMD равнобедренный и $\angle M B D=\angle M D B.$ Стало быть, $\angle M N L=\angle M D B$ и, значит, четырехугольник MLND  — вписанный. Тогда $\angle M N D=\angle M L D,$ так как они опираются на одну дугу. Осталось заметить, что поскольку ML  — средняя линия в прямоугольном треугольнике ABD, прямая ML параллельна прямой AD и, значит,

$\angle M N D=\angle M L D=\angle M L B=\angle A D B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 90°.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник прямоугольный, Методы геометрии. Вспомогательная окружность, Методы геометрии. Свойства медиан, высот, биссектрис, ср. линий

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь