Всего: 393 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
и не больше 
Следовательно, разность между суммой всех цифр числа, стоящих на нечётных местах и суммой его цифр, стоящих на чётных местах, равная 
является нечётным числом из интервала от −15 до 25, делящимся на 11. 
и 
Соображения максимальности дают для них число 79483625140.
из первого равенства имеем 
причём, если 
и из второго равенства 
Следовательно, для любой пары чисел из нашей либо эти числа равны, либо их сумма равна 2 и произведение оставшейся пары чисел равно 1. В частности, среди чисел нашей четвёрки содержится максимум два различных числа. 
Ввиду монотонности функции 
являющейся суммой двух монотонно возрастающих функций 
и 
решение будет единственно: 
Получаем первую искомую четвёрку 
Если чисел, равных a, ровно два, то 
откуда 
и мы имеем на самом деле случай 1). Если чисел, равных a, ровно три, то 
и, либо 
и мы получаем новую искомую четвёрку 
Добавляя решения, получающиеся перестановками переменных, получим три новых четвёрки.
и 
равна сумме цифр А плюс сумма цифр В минус число переходов единицы в следующий разряд при сложении, умноженное на 9. По условию, сумма цифр А вдвое больше суммы цифр В, поэтому их общая сумма делится на 3, значит, и сумма цифр 
должна делиться на 3 — противоречие с тем, что сумма цифр числа 2017 равна 10.
различных, максимальное из которых мы обозначим за x, а сумму всех чисел — за S. Тогда сумма всех чисел, кроме максимального, не превосходит
так как делится на него. Следовательно, неравенство 
— имеет решения в натуральных числах, и 
Положительность дискриминанта даёт нам 
и 
Рассмотрим случаи каждого максимального числа отдельно.
тогда 
и делится на 64, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
поэтому в данном случае 
тогда 
и делится на 49, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
тогда 
и делится на 36, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
поэтому в данном случае 
тогда 
и делится на 25, поэтому 
Тогда 
делится на 
только при 
поэтому в данном случае 
Искомое множество должно содержать 10 натуральных чисел с суммой 30, среди которых должны быть 1, 2, 3, 5. Теперь уже несложно построить пример для 
1, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 5. Этот пример не единственный.
.
.
.
и 
быть рациональными?
откуда 
В силу рациональности a и b последнее неравенство возможно только при 
откуда 
однако при этом 
что невозможно.
оставшихся, либо делиться на неё при любом k от 1 до 
— все числа от 1 до n, записанные в требуемом в условии порядке. Обозначим их сумму за S, и рассмотрим максимальное k такое, что 
не превосходит 
Тогда числа Ak и 
являются собственными делителями числа S, меньшими 
значит, оба они не больше 
Следовательно, 
откуда 
и 
Тогда числа 
и 
являются различными собственными делителями числа S, меньшими 
можно считать, 
Тогда 
откуда 
и 
Более того, при 
случай б) невозможен из-за нечётности S. При 
число S не делится на 3, поэтому один из делителей 
и 
не превосходит 
что позволяет улучшить оценку: 
откуда 
и 
.
.
В ряд слева направо записаны все натуральные числа от 1 до 37 в таком порядке, что каждое число, начиная со второго по 37-ое, делит сумму всех чисел, стоящих левее него: второе делит первое, третье — сумму первого и второго, и т.д, последнее — сумму первых тридцати шести. На первом слева месте оказалось 37, какое число стоит на третьем месте?
и должно равняться 19, так как 37 уже занято. Следовательно, на третьем месте стоит число 2.
для некоторых натуральных чисел x и y.
Заметим, что числа 
и x, а также числа 
и y взаимно просты, поэтому x в знаменателе может сократиться только с y в числителе, поэтому y делится на x и, в частности, y не меньше x. Аналогично, 
в частности, не превосходит его, откуда y не превосходит x. Следовательно, y равен x и 
Число 
получается при любой паре равных x и y, скажем, когда они равны 1.
все цифры которых различны и 
способами, затем выбрать из них две не максимальных и ненулевых цифры 
способами, и единственным способом расположить их слева от наибольшей в порядке возрастания, а обе оставшихся приписать справа от максимальной в порядке убывания. Всего имеем 
таких чисел.
способами, затем выбрать из них две не максимальных цифры 
таких чисел. Итого, получаем 756 + 378 = 1134 чисел.Найти все натуральные числа n такие, что n равно сумме трёх чисел, первое из которых является максимальным делителем числа 
отличным от второе — максимальным делителем числа 
отличным от и третье — максимальным делителем числа 
отличным от 
и 
равны 2, а минимальный простой делитель 
обозначим за р — нечётное простое число. Тогда 
— чётное число — противоречие.
Тогда меньшее из этих чисел меньше 4, то есть равно 3, а второе меньше 6, то есть равно 5. Пусть сначала p = 3, q = 5, тогда 
следовательно, возможный ответ n = 58. 
тогда 
следовательно, возможный ответ n = 66.
или 
.
таких, что
тогда для произвольного 
выполняется неравенство 
Следовательно, 
Пример девяти чисел, удовлетворяющих условию: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11.
.В первый день Дима выбирает два различных числа из множества {0, 1, 2, …, 2332} и записывает их в тетрадь. На второй день он снова выбирает два различных числа из этого же множества и прибавляет каждое из выбранных чисел к каждому числу, уже имеющемуся в тетради. Потом он дописывает в тетрадь как сами выбранные числа, так и все получившиеся суммы. (Например, если в первый день выбрать 2 и 3, а во второй — 2 и 4, то в тетради будут записаны числа 2, 3, 2, 4, 4, 5, 6, 7.) При этом, если какая-либо сумма превосходит 2332, он заменяет ее остатком от деления на 2333. На третий день он опять выбирает два различных числа, прибавляет их ко всем числам в тетради, дописывает в тетрадь эти два числа и все получившиеся суммы и т. д. Через какое минимальное количество дней (как бы Дима числа ни выбирал) каждое из чисел 0,1,2, …, 2332 будет гарантированно записано в тетради хотя бы один раз? Опишите все варианты, при которых Диме придётся ждать максимальное количество дней.
где 
— простое число. Покажем, что на новой странице различных чисел будет записано по крайней мере на одно больше, чем на предыдущей. Докажем это утверждение методом от противного. 
и прибавил их ко всем числам множества А, но количество сумм в результате не увеличилось. То есть, прибавив к числам из множества А сначала число 
а затем число 
он получил один и тот же набор сумм:
— остаток от деления числа m на число p. Следовательно, для любого 
существует такой 
что 
Другими словами, верно, что для любого 
Значит, для любого 
верно, что 
Но для таких k числа вида 
между собой различны. (Действительно, пусть числа 
и 
совпадают. Значит, разность 
делится на p, а следовательно, на p делится произведение 
что невозможно, так как каждый сомножитель по абсолютной величине не превосходит 
а число p — простое.) Получается, что множество A уже содержит pчисел, что противоречит (1). 
будут записаны все p чисел. Эта оценка достижима: если каждый раз выбирать числа 0 и 1, то все числа впервые будут записаны именно на странице с номером 
количество страниц, ему следует выбирать числа так, чтоб количество новых различных сумм увеличивалось каждый раз ровно на 1. Для этого необходимо и достаточно, чтобы полученные на каждом шаге различные числа образовывали арифметическую прогрессию, то есть 
где d — произвольное заранее выбранное число от 1 до 
и 
надо выбирать так, чтобы 
и 
Положим 
Затем он выбрал числа 
Из этих сумм две должны совпадать. Значит, или 
или 
В обоих случаях 
образующие арифметическую прогрессию с разностью 
Прибавляя к ней новые числа 
то количество новых различных сумм увеличится более чем на 1. Значит, 
и новые суммы опять образуют арифметическую прогрессию с той же разностью. Необходимость доказана. 
2) Дима выбирает первые два числа 
произвольно. На каждом шаге новые числа 
и 
таковы, что отношение четырёхзначного числа 
к сумме 
является целым числом. Найти все возможные значения, которые может принимать это число.
откуда 
Заметим, что 
следовательно, 
откуда 
то есть 
Аналогично, 
следовательно, 
откуда 
то есть 
получим два двузначных числа, для которых отношение из условия которых будет в точности равно n.
и 
Собственным делителем натурального числа называется любой его делитель, отличный от единицы и самого числа. Найти все натуральные числа, имеющие не меньше двух различных собственных делителей и делящиеся на разность любых двух из них.
следовательно, n должно делиться на их разность, то есть число 
должно быть целым. Последнее возможно только, когда 
— целое число, то есть когда 
— чётный делитель числа 8. Отсюда получаем все возможные 
Проверяем каждое из них, они все удовлетворяют условию задачи.
выполнена проверка.
Найти все значения, которые может принимать сумма 
и 
тогда уравнение из условия можно записать как 
откуда 
легко получаем первое возможное значение 
Поделив на скобку 
имеем 
Подставим сюда 
и 
получим 
Рассмотрев последнее уравнение как квадратное относительно a, найдём его дискриминант, равный 
Данное уравнение разрешимо в единственном случае 
и его единственным корнем будет 
В этом случае 
— второй возможный ответ задачи. Проверка найденных значений не требуется, поскольку выполняемые нами преобразования были равносильными.
Докажите, что для любого натурального числа n существует натуральное число N такое, что произведение 
представляет собой палиндром, то есть число, десятичная запись которого справа налево и слева направо читается одинаково. Например, для n = 1 можно взять N = 13, так как 
а его десятичная запись содержит не менее n цифр, то есть 
и 
Тогда, приписав к десятичной записи числа B произвольные цифры слева, вновь получим делящееся на 
число, а именно: число 
также делится на 
Очевидно, что 
Существует нечётное число C такое, что десятичная запись произведения 
содержит более n цифр. Например, 
тогда 
а запись числа 
содержит 
цифру. (Из нечетности C следует неравенство 
что далее существенно.)
в котором цифру x выберем так, чтобы сумма всех цифр числа V делилась на 9 (тогда и само V делится на 9). 
справедливо равенство 
Таким образом, существование натурального N доказано.