РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 322 Добавить в вариант

Действительные числа a и b таковы, что $a в кубе плюс b в кубе =1 минус 3ab.$ Найти все значения, которые может принимать сумма $a плюс b.$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $a плюс b=x$ и $ab= y,$ тогда уравнение из условия можно записать как $x в кубе минус 3xy=1 минус 3y,$ откуда $x в кубе минус 1=3 xy минус 3 y=3 y левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка ,$ легко получаем первое возможное значение $a плюс b=x =1.$ Поделив на скобку $x минус 1,$ имеем $x в квадрате плюс x плюс 1 минус 3 y=0.$ Подставим сюда $x=a плюс b$ и $y=ab,$ получим $a в квадрате минус левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка a плюс b в квадрате плюс b плюс 1=0.$ Рассмотрев последнее уравнение как квадратное относительно a, найдём его дискриминант, равный $минус 3 левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0.$ Данное уравнение разрешимо в единственном случае $b= минус 1$ и его единственным корнем будет $a= минус 1.$ В этом случае $a плюс b= минус 2$   — второй возможный ответ задачи. Проверка найденных значений не требуется, поскольку выполняемые нами преобразования были равносильными.

Ответ: −2 и 1.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Нахождение $a плюс b=1.$	3
Нахождение $a плюс b= минус 2.$	4
Если угаданы оба ответа с приведением примеров a и b, на которых они достигаются.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 10 класс, 3 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь