За­ме­тим, что про­из­ве­де­ние может при­ни­мать одно из трёх зна­че­ний:

Пусть a раз в рас­смат­ри­ва­е­мой сумме встре­ча­ет­ся число b раз  — число Тогда ко­ли­че­ство сла­га­е­мых рав­ных 1 в этой сумме будет В этом слу­чае дан­ная сумма равна

По­сколь­ку сумма  — целое число, то a = b, а сумма равна 1009 + 12a. Так как a может в усло­ви­ях за­да­чи при­ни­мать зна­че­ния от 0 до 504 (), то мак­си­маль­ное зна­че­ние рас­смат­ри­ва­е­мой суммы равно 1009 + 12 · 504 = 7057.

Ответ: 7057.

За­ме­тим, что если число вида где целые, воз­ве­сти в целую не­от­ри­ца­тель­ную сте­пень n, то вновь по­лу­чим число та­ко­го же вида, то есть где опять же целые. По­ло­жи­тель­ное число оче­вид­но, мень­ше 1. Зна­чит, воз­во­дя его в до­ста­точ­но боль­шую сте­пень, можно по­лу­чить число сколь угод­но малое. Най­дем такое на­ту­раль­ное n, что По­сколь­ку то, оче­вид­но, до­ста­точ­но взять так как Оста­ет­ся воз­ве­сти в 10-ю сте­пень. На­хо­дим:

Таким об­ра­зом, по­это­му можно взять

Ответ: на­при­мер,

За­ме­ча­ние.

При­ве­ден­ная в ре­ше­нии оцен­ка очень гру­бая. На самом деле, уже Но

Мак­си­маль­ная раз­ность равна d − a = 9.

Так как d − a = (d − c) + (c − a) = (d − b) + (b − a) = 9, то воз­мож­ны два слу­чая:

1)  (d − c) = 3 и (c − a) = 6.

В этом слу­чае по­лу­ча­ем:

2)  (d − b) = 6 и (b − a) = 3.

В этом слу­чае по­лу­ча­ем:

Ответ: a = 6, b = 11, c = 12, d = 15 или a = 7, b = 10, c = 11, d = 16.

Пусть а тогда по­лу­ча­ем

Вы­чи­тая из пер­во­го урав­не­ния по­след­ней си­сте­мы вто­рое, по­лу­ча­ем:

Итак, Сле­до­ва­тель­но, (a − b)(a + b) де­лит­ся на 11. По­сколь­ку a и b яв­ля­ют­ся циф­ра­ми, то

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем (x − y)² = 6² · 11², а x − y = 66.

Ответ: 66.

До­ка­жем, что для лю­бо­го зна­че­ния су­ще­ству­ет бес­ко­неч­но много чисел удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию Дей­стви­тель­но, среди чисел 5⁰, 5¹, 5², ..., 5^2k най­дут­ся два числа 5^p и 5^q (p > q), да­ю­щие при де­ле­нии на 2^k оди­на­ко­вые остат­ки. Тогда их раз­ность де­лит­ся на 2^k, а зна­чит, число 5^{p − q} − 1 и все числа вида 5^{r(p − q)} − 1, () де­лят­ся на 2^k. Таким об­ра­зом, для каж­до­го зна­че­ния m = r(p − q), имеем от­ку­да т. е. по­след­ние k цифр числа 5^{m + k} об­ра­зу­ют де­ся­тич­ную за­пись числа 5^k. Пусть число k удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству 2^k > 10²⁰¹⁹. Тогда де­ся­тич­ная за­пись числа со­дер­жит не более k − 2019 цифр. Сле­до­ва­тель­но, среди по­след­них k цифр числа 5^{m + k} не­ну­ле­вы­ми могут быть толь­ко по­след­ние k  — 2019 цифр, а осталь­ные 2019 цифр, иду­щие под­ряд яв­ля­ют­ся ну­ля­ми.

Ответ: бес­ко­неч­но много.

Всего 25 трёхзнач­ных чисел де­лит­ся на 37. Среди них есть 9 чисел, со­сто­я­щих из оди­на­ко­вых цифр: 111, ... , 999. Осталь­ные 16 чисел со­сто­ят из раз­лич­ных цифр. Это можно до­ка­зать пе­ре­бо­ром, но лучше так: пусть в числе, де­ля­щем­ся на 37, две оди­на­ко­вые цифры, на­при­мер, вто­рая и тре­тья. Тогда это число имеет вид Вы­чтем из него число де­ля­ще­е­ся на 37. По­лу­чим, что число де­лит­ся на 37, чего быть не может. Осталь­ные слу­чаи ра­вен­ства цифр рас­смат­ри­ва­ют­ся ана­ло­гич­но.

Ответ: 16.

Так как то при любых целых x и y зна­че­ние каж­до­го из вы­ра­же­ний в скоб­ках  — не­чет­ное число. Квад­рат не­чет­но­го числа при де­ле­нии на 4 дает в остат­ке 1, по­сколь­ку

Таким об­ра­зом, зна­че­ние дан­но­го вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся чет­ным чис­лом и при де­ле­нии на 4 дает оста­ток 2. Пусть оно яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, тогда это квад­рат чет­но­го числа. Но квад­рат лю­бо­го чет­но­го числа де­лит­ся на 4 — про­ти­во­ре­чие.

Ответ: Нет, не может.

Всего 27 не более, чем трёхзнач­ных чисел де­лит­ся на 37. Среди них есть 9 чисел, со­сто­я­щих из оди­на­ко­вых цифр: 111, ... , 999. Осталь­ные 16 чисел со­сто­ят из раз­лич­ных цифр. Это можно до­ка­зать пе­ре­бо­ром, но лучше так: пусть в числе, де­ля­щем­ся на 37, две оди­на­ко­вые цифры, на­при­мер, вто­рая и тре­тья. Тогда это число имеет вид Вы­чтем из него число де­ля­ще­е­ся на 37. По­лу­чим, что число де­лит­ся на 37, чего быть не может. Осталь­ные слу­чаи ра­вен­ства цифр рас­смат­ри­ва­ют­ся ана­ло­гич­но.

Ответ: 18.

Число де­лит­ся на 5, а зна­чит то же самое вы­пол­ня­ет­ся и для суммы любых нечётных сте­пе­ней.

Это верно, так как де­лит­ся на при нечётном m. По-дру­гом можно это до­ка­зать так: зна­чит, если нечётно.

Те­перь рас­смот­рим остат­ки по мо­ду­лю де­лит­ся на 9. Число и даёт при де­ле­нии на 9 оста­ток 8, а Зна­чит даёт оста­ток 1. Даль­ше остат­ки за­цик­ли­ва­ют­ся и даёт оста­ток 8 при нечётном n и оста­ток 1 при чётном. Число при де­ле­нии на 9 даёт оста­ток 1. Зна­чит, даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 9 . Таким об­ра­зом, сумма де­лит­ся на

Далее, можно за­ме­тить, что де­лит­ся ещё и на 11. По малой тео­ре­ме Ферма любое число, вза­им­но про­стое с 11, в сте­пе­ни крат­ной 10 даёт при де­ле­нии на 11 оста­ток Зна­чит, у чисел и такие же остат­ки при де­ле­нии на 11, как и у кубов со­от­вет­ству­ю­щих чисел, по­это­му их сумма де­лит­ся на 11.

По­это­му де­лит­ся на Кроме того, а зна­чит, есть ещё и пятый мно­жи­тель.

Число де­лит­ся на 5, а Зна­чит то же самое вы­пол­ня­ет­ся и для суммы любых нечётных сте­пе­ней. Ана­ло­гич­но по­это­му любая сумма оди­на­ко­вых нечётных сте­пе­ней чисел 5 и 11 де­лит­ся на 16.

Это верно, так как де­лит­ся на при нечётном m. По-дру­го­му можно это до­ка­зать так: зна­чит, если нечётно. От­сю­да де­лит­ся на то есть мы по­лу­чи­ли уже пять мно­жи­те­лей.

Далее, можно за­ме­тить, что де­лит­ся ещё и на 19. По малой тео­ре­ме Ферма любое число, вза­им­но про­стое с 19, в сте­пе­ни крат­ной 18 даёт при де­ле­нии на 19 оста­ток 1. Зна­чит, у чисел и такие же остат­ки при де­ле­нии на 19, как и у кубов со­от­вет­ству­ю­щих чисел, по­это­му их сумма де­лит­ся на 19.

По­это­му де­лит­ся на Кроме того,

а зна­чит, есть ещё и седь­мой мно­жи­тель.

За­пи­шем функ­цию в виде

Обо­зна­чим тогда

на от­рез­ке От­сю­да, по­лу­ча­ем, что

Таким об­ра­зом, мно­же­ством зна­че­ний ис­ко­мой функ­ции, яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток Этот про­ме­жу­ток со­дер­жит 25 целых зна­че­ний.

Ответ: 25.

Ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих -знач­ных чисел не боль­ше, чем ва­ри­ан­тов для пер­вой цифры и не более 999 ва­ри­ан­тов для каж­дой сле­ду­ю­щей трой­ки цифр. Каж­дое из них не мень­ше

Ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих -знач­ных чисел не боль­ше, чем Каж­дое из них не мень­ше

Ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих -знач­ных чисел не боль­ше, чем Каж­дое из них не мень­ше

Пусть ко­ли­че­ство зна­ков в самом боль­шом вы­пи­сан­ном числе не пре­вос­хо­дит Тогда общая сумма чисел не боль­ше

Ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих -знач­ных чисел не боль­ше, чем 9 ва­ри­ан­тов для пер­вой цифры и не более 9999 ва­ри­ан­тов для каж­дой сле­ду­ю­щей четвёрки цифр. Каж­дое из них не мень­ше

Ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих -знач­ных чисел не боль­ше, чем Каж­дое из них не мень­ше

Ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих -знач­ных чисел не боль­ше, чем Каж­дое из них не мень­ше

Ко­ли­че­ство под­хо­дя­щих -знач­ных чисел не боль­ше, чем Каж­дое из них не мень­ше

Пусть ко­ли­че­ство зна­ков в самом боль­шом вы­пи­сан­ном числе не пре­вос­хо­дит Тогда общая сумма чисел не боль­ше

Пусть Тогда

Таким об­ра­зом, число a² + 2b на­хо­дит­ся между двумя квад­ра­та­ми по­сле­до­ва­тель­ных чисел и, сле­до­ва­тель­но, оно не может быть квад­ра­том це­ло­го числа.

Ответ: нет, не могут.

Пусть m  — про­из­воль­ное чисто из мно­же­ства А. По усло­вию где Пред­по­ло­жим, что a  — по­след­няя цифра чиста n, тогда где Сле­до­ва­тель­но,

Сумма окан­чи­ва­ет­ся циф­рой 0 и имеет чет­ное чисто де­сят­ков. Для того чтобы в числе m циф­рой де­сят­ков была 1, обя­за­тель­но долж­на быть не­чет­ной цифра де­сят­ков числа Про­ве­рял все зна­че­ния убеж­да­ем­ся, что это воз­мож­но толь­ко при и Сле­до­ва­тель­но, чисто n чет­ное, а зна­чит чет­ным будет также и чисто Таким об­ра­зом, все числа из мно­же­ства А чет­ные. Оце­ним те­перь в каж­дой сотне по­сле­до­ва­тель­но сто­я­щих на­ту­раль­ных чисел ко­ли­че­ство таких чисел n, для ко­то­рых имеет цифру 1 в раз­ря­де де­сят­ков. Каж­дое чисто n можно за­пи­сать в виде где Воз­во­дя в квад­рат, имеем

Сумма окан­чи­ва­ет­ся двумя ну­ля­ми, по­это­му цифра в раз­ря­де де­сят­ков числа m сов­па­да­ет с со­от­вет­ству­ю­щей циф­рой сла­га­е­мо­го По­след­ней циф­рой числа b яв­ля­ет­ся 4 или 6 (вы­те­ка­ет из преды­ду­щих рас­суж­де­ний). Тогда усло­вию за­да­чи могут удо­вле­тво­рять Рас­смат­ри­вая их квад­ра­ты, убеж­да­ем­ся, что цифра 1 в раз­ря­де де­сят­ков по­лу­ча­ет­ся толь­ко три Сле­до­ва­тель­но, мно­же­ство А со­дер­жит числа вида где

В каж­дой по­сле­до­ва­тель­ной сотне на­ту­раль­ных чисел есть че­ты­ре числа, квад­ра­ты ко­то­рых имеют цифру 1 в раз­ря­де де­сят­ков, это числа вида

По усло­вию за­да­чи или От­ме­тим, что и в про­ме­жут­ке между чис­ла­ми и су­ще­ству­ет

по­сле­до­ва­тель­ных сотен на­ту­раль­ных чисел. В каж­дой из них можно вы­брать че­ты­ре числа, квад­ра­ты ко­то­рых при­над­ле­жат А. По­это­му ко­ли­че­ство эле­мен­тов в мно­же­стве А не мень­ше, чем

а это число оче­вид­но 6олыше что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ана­ло­гич­ное ре­ше­ние по­доб­ной за­да­чи при­сут­ству­ет в ва­ри­ан­те 1 под но­ме­ром 645, тем не менее ука­жем важ­ное от­ли­чие: в каж­дой по­сле­до­ва­тель­ной сотне су­ще­ству­ют че­ты­ре числа, квад­ра­ты ко­то­рых имеют цифру 5 в раз­ря­де де­сят­ков. Это числа вида

а)  По­ло­жим Утвер­жде­ние легко до­ка­зы­ва­ет­ся по ин­дук­ции в силу тож­де­ства Един­ствен­ное, что сле­ду­ет от­ме­тить, это то, что ин­дук­ци­он­ное пред­по­ло­же­ние за­клю­ча­ет­ся в спра­вед­ли­во­сти утвер­жде­ния для всех

б)  Пусть тогда так что по­это­му число целое. Так как то по­это­му зна­чит, и

в)  Не­труд­но ви­деть, что если   — част­ное от де­ле­ния мно­го­чле­на на то част­ным от де­ле­ния на будет мно­го­член

а)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное вы­ра­же­ние по­это­му вто­рое число боль­ше.

Ответ:

б)  Число 1997 есть сумма одной двой­ки и 665 троек, таким об­ра­зом мак­си­маль­ное зна­че­ние про­из­ве­де­ния равно Идея рас­суж­де­ния: если где то (до­ка­жи­те это). По­это­му про­из­ве­де­ние в ко­то­ром хотя бы одно из чисел n_i боль­ше че­ты­рех, не может быть наи­боль­шим. Так как то чет­вер­ки можно из рас­смот­ре­ния ис­клю­чить. Таким об­ра­зом, наи­боль­шее про­из­ве­де­ние на­ту­раль­ных чисел с за­дан­ной сум­мой сле­ду­ет ис­кать среди про­из­ве­де­ний двоек и троек. Оста­лось за­ме­тить, что в силу утвер­жде­ния преды­ду­ще­го пунк­та двоек долж­но быть как можно мень­ше.

в)  Из не­ра­вен­ства Коши

сле­ду­ет, что про­из­ве­де­ние k по­ло­жи­тель­ных чисел, сумма ко­то­рых равна 1997, не пре­вос­хо­дит ко­то­рое, в свою оче­редь, не пре­вос­хо­дит наи­боль­ше­го зна­че­ния функ­ции (при ). Диф­фе­рен­ци­руя, по­лу­ча­ем

сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции f, ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при равно (здесь мы вос­поль­зо­ва­лись тем, что ).

Рас­смот­рим k-знач­ные числа Ко­ли­че­ство чисел, со­сто­я­щих толь­ко из нечётных цифр, равно (на каж­дую из k по­зи­ций можно вы­брать любую из цифр 1, 3, 5, 7, 9); ко­ли­че­ство чисел, со­сто­я­щих толь­ко из чётных цифр, равно (на первую по­зи­цию можно вы­брать любую из цифр 2, 4, 6, 8, а на остав­ши­е­ся по­зи­ции  — любую из цифр 0, 2, 4, 6, 8). Сле­до­ва­тель­но, k-знач­ных чисел, со­дер­жа­щих в своей за­пи­си толь­ко нечётные цифры, на

боль­ше, чем чисел, со­дер­жа­щих в своей за­пи­си толь­ко чётные цифры.

Рас­смот­рим 21-знач­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие Чисел, за­пи­сан­ных толь­ко нечётными циф­ра­ми, среди них а чисел, за­пи­сан­ных толь­ко чётными циф­ра­ми  — (не за­бы­ва­ем учесть само число Итак, чисел, за­пи­сан­ных толь­ко нечётными циф­ра­ми, боль­ше на

Ответ: чисел, со­дер­жа­щих толь­ко нечётные цифры, боль­ше на

Рас­смот­рим k-знач­ные числа Ко­ли­че­ство чисел, со­сто­я­щих толь­ко из нечётных цифр, равно (на каж­дую из k по­зи­ций можно вы­брать любую из цифр 1, 3, 5, 7, 9); ко­ли­че­ство чисел, со­сто­я­щих толь­ко из чётных цифр, равно (на первую по­зи­цию можно вы­брать любую из цифр 2, 4, 6, 8, а на остав­ши­е­ся по­зи­ции  — любую из цифр 0, 2, 4, 6, 8). Сле­до­ва­тель­но, k-знач­ных чисел, со­дер­жа­щих в своей за­пи­си толь­ко нечётные цифры, на

боль­ше, чем чисел, со­дер­жа­щих в своей за­пи­си толь­ко чётные цифры.

Рас­смот­рим 26-знач­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие Чисел, за­пи­сан­ных толь­ко нечётными циф­ра­ми, среди них а чисел, за­пи­сан­ных толь­ко чётными циф­ра­ми  — (не за­бы­ва­ем учесть само число Итак, чисел, за­пи­сан­ных толь­ко нечётными циф­ра­ми, боль­ше на

Ответ: чисел, со­дер­жа­щих толь­ко нечётные цифры, боль­ше на