Всего: 393 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
— десятичная запись 
Переменные x, y — целые трехзначные числа. Тогда 
и 
либо 
и 
То есть получаем наборы 114 и 991, 340 и 997.
является трехзначным числом, все цифры которого одинаковы.
и 
и 
или 
и 
Итак: 
Тогда 
отсюда 
y — не целое число;
являлась квадратом некоторого натурального числа.
при 
так как равенство 
не может быть выполнено ни при каких натуральных a и b. Так как n и 
взаимно простые числа, то можем положить: 
тогда 
или 
откуда 
a во втором: 
в непрерывную дробь.
(в этом случае 
Имеем: 
Возведем обе части равенства в куб: 
Далее возводим в четвертую, пятую и т. д. степень.
и 
(в этом случае 
и будем возводить в степень с нечетным показателем обе части равенства: 
и т. д. 
при 
то есть 
следовательно, a : 4, тогда 
и 
Первую такую пару просто подбираем: 
Далее мы замечаем, что если 
то 
заведомо больших чисел, также удовлетворяющих нашему условию. Это позволяет найти бесчисленное множество таких пар.В строку в порядке возрастания записали целые числа от 1945 до 2020. После этого под каждыми двумя соседними числами записали их сумму, образовав новую строку. Затем под каждой парой соседних чисел получившейся строки записали их сумму, образовав третью строку, и так далее до тех пор, пока не получилась строка, состоящая из одного числа. Какое это число?
и 
Значит,
первый член в 
где 
или 
Оба числа 109, 119 не удовлетворяют требованию задачи. Рассмотрим трёхзначные числа вида 
где 
Среди них нужно найти наименьшее, удовлетворяющее условию задачи. Но уже при 
Докажите, что для бесконечно многих натуральных m среди чисел m, 
нет почти квадратов.
количество почти квадратов не меньше, чем 
где c — некоторая константа. С другой стороны, каждый такой почти квадрат имеет вид ab, где 
поэтому их количество не больше чем 
каждое из которых участвует в этой сумме 1 или 2 раза. Например, 
в двоичной системе. Пусть самая большая степень двойки в этом разложении равна 
Заменив это слагаемое на сумму 
будет участвовать 1 или 2 раза.Натуральное число называется палиндромом, если оно одинаково читается слева направо и справа налево (в частности, последняя цифра палиндрома совпадает с первой и потому не равна нулю). Квадраты двух различных натуральных чисел имеют по 1001 цифре. Докажите, что строго между этими квадратами на числовой прямой найдется палиндром.
Тогда 
откуда 
При этом строго между 
и 
заведомо присутствуют числа 
то есть не менее чем 
последовательных натуральных чисел. Докажем теперь, что в любом блоке из 
-е число нашего блока. Оставим его первые 501 цифр неизменными, а последние 500 цифр поменяем так, чтобы получился палиндром. При этом число изменится не более чем на 
(500 девяток), т. е. на 
Поэтому оно не вылезет за пределы нашего блока.Назовём улучшением положительного числа его замену на степень двойки (т. е. на одно из
и дающих в сумме не менее 
Для доказательства заметим, что две равные степени двойки из этого набора можно заменить на одну, в два раза большую. Повторяя эти операции, мы либо получим число 
сумма которых строго меньше, чем 2100.
Сумма удаленных чисел, очевидно, меньше чем 
т. е. сумма оставшиеся больше чем 
и 
есть степень двойки. Если она больше 
Осталось применить лемму.
Значит, число состоит из 44 блоков по 10 цифр и в конце ещё нескольких цифр с суммой 37. Иначе говоря, до 45 блоков (до 450 цифр) не хватает суммы цифр 8, которая может быть набрана одной (8), двумя (35), тремя (521) или четырьмя (5210) цифрами, но не более 
Значит, длина числа — от 446 до 449 цифр.
где n — натуральное число. Известно, что x имеет ровно три различных простых делителя, один из которых равен 7. Найдите x.
где 
Один простой делитель x равен 2. Поэтому мы должны найти все N, имеющие ровно два нечетных простых делителя, один из которых равен 7. Остатки от деления степеней двойки на 7 равны 2, 4, 1 и далее циклически повторяются. Тогда делимость N на 7 означает, что 
кратно 3, то есть 
Если 
то 
что нам не подходит. При 
и 
мы получим соответственно 
и 
откуда 
и 
Покажем, что при 
решений не будет. Рассмотрим два случая. 
где 
и 
Заметим, что p и q взаимно просты, поскольку 
то 
и, повторяя предыдущие рассуждения для p вместо N, мы разложим p в произведение двух взаимно простых чисел, отличных от 1. Тогда N есть произведение трех взаимно простых чисел и, тем самым, имеет не менее трех различных простых делителей, что невозможно.
Так как число q взаимно просто с p, оно не может и меть других простых делителей, откуда 
при некотором натуральном s. Остаток от деления на 8 у 
такой же, как у 
то есть 1 , поскольку 
Тогда s четно и q является точным квадратом. Но число 
лежит строго между 
и 
и потому точным квадратом быть не может. 
при 
и 
где 
и 
Числа p и q взаимно просты, так как они нечетны и 
Заметим, что число p раскладывается на два взаимно простых множителя. Действительно, при четном k запишем p как разность квадратов, а при нечетном воспользуемся разложением из 1). Значит, N есть произведение трех взаимно простых чисел, отличных от 1. Поэтому N имеет не менее трех различных простых делителей, что невозможно.
где n — натуральное число. Известно, что x имеет ровно три различных простых делителя, один из которых равен 3. Найдите x.
Если 
что нам не подходит. При 
и 
откуда 
и 
Покажем, что при 
решений не будет. Заметим, что 
то m четно, и мы можем разложить p в произведение двух взаимно простых чисел, отличных от 1, тем же способом, что и N. Тогда N есть произведение трех взаимно простых чисел и, тем самым, имеет не менее трех различных простых делителей, что невозможно.
и 
при некотором натуральном s. Рассмотрим два случая. 
причем 
при некотором натуральном k, и 