По­сколь­ку число x четно, один из его про­стых де­ли­те­лей равен 2. По­это­му мы долж­ны найти все x, име­ю­щие ровно два не­чет­ных про­стых де­ли­те­ля, один из ко­то­рых равен 11. Де­ли­мость x на 11 рав­но­силь­на тому, что n  — не­чет­ное крат­ное 5, то есть при не­ко­то­ром не­чет­ном m. От­сю­да по фор­му­ле для суммы гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии где и

За­ме­тим, что p и q вза­им­но про­сты. Дей­стви­тель­но, пусть число r делит p и q. Тогда

Вы­ра­же­ния, сто­я­щие в скоб­ках в пра­вой части, де­лят­ся на p и, тем более, на r. По­это­му r яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем 5. Но остат­ки от де­ле­ния сте­пе­ней 7 на 5 равны 2, 4, 3, 1 и далее цик­ли­че­ски по­вто­ря­ют­ся. Зна­чит, p не крат­но 5 при не­чет­ных m, от­ку­да

До­ка­жем, что число p есть сте­пень двой­ки толь­ко при Дей­стви­тель­но, пусть и Тогда и число крат­но 16. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку остат­ки от де­ле­ния на 16 при­ни­ма­ют толь­ко зна­че­ния 7 и 1.

Если мы по­лу­чим

что нам под­хо­дит, По­ка­жем, что при ре­ше­ний не будет. Рас­смот­рим два слу­чая.

1)  Когда p крат­но 11. Тогда то есть Если то p де­лит­ся на 11 и 191. При мы можем при­ме­нить к p те же рас­суж­де­ния, что к x. В обоих слу­ча­ях p раз­ло­жит­ся на два вза­им­но про­стых мно­жи­те­ля, не яв­ля­ю­щих­ся сте­пе­ня­ми двой­ки. По­это­му x имеет не менее трех раз­лич­ных про­стых не­чет­ных де­ли­те­лей, что не­воз­мож­но.

2)  Когда q крат­но 11. За­ме­тим, что p имеет не­чет­ный де­ли­тель, а q не­чет­но и вза­им­но про­сто с p. Тогда q долж­но быть сте­пе­нью 11. Оста­ток от де­ле­ния на 8 равен −1 ввиду не­чет­но­сти m. По­это­му число q дает при де­ле­нии на 8 оста­ток 5. Но остат­ки от де­ле­ния на 8 при­ни­ма­ют толь­ко зна­че­ния 3 и 1; по­это­му q не может быть сте­пе­нью 11.

Ответ: 16 808.