Поиск
?
Всего: 719 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
тогда 
получаем 
тогда 
получаем 
но так как 
Перебирая 
получим все искомые числа {13; 23; 43; 58; 73; 88}.
и 
удовлетворяют условию k > m > n > l > 0. Возможно ли, чтобы f(x) и p(x) имели общий корень?
имеет ровно три решения. Найдите ординату вершины трехчлена f(x).
имеет больше корней, чем уравнение 
и меньше корней, чем уравнение 
Ясно также, что никакие два уравнения не имеют общих корней. Тогда уравнение 
подходит. Разобьем числа от 1 до 2016 на 44 группы: 
Тогда 
и 
Докажите неравенство
поскольку эти строки разбиваются на 60 таких прямоугольников. Аналогичный вывод можно сделать про любые три соседние строки.
Противоречие.Дан параллелограмм ABCD. Описанная окружность ω треугольника ABC второй раз пересекает сторону AD и продолжение стороны DC в точках P и Q соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PDQ лежит на ω.
и точка B лежит на серединном перпендикуляре к PQ. Обозначим точку его пересечения с окружностью ω через О. Тогда точки B и O диаметрально противоположны и, значит, 
В силу равнобочности трапеции ABCP и равенства противоположных сторон параллелограмма ABCD, имеем 
Поэтому C лежит на серединном перпендикуляре к PD. Но CO перпендикулярно BC, а, значит, и AD. Следовательно, O также лежит на серединном перпендикуляре к PD. Итак, точка O лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам PQ 
Тогда 
делится на 5, то есть 
для некоторого целого k и 
Тогда при любом x разность 
это невозможно, поскольку уравнение 
имеет решение относительно x. Стало быть, 
и 
Тогда разность 
с рациональным b подходят, поскольку число 
то 
и 
но тогда 
что невозможно. Таким образом, в каждой десятке не более четырех выбранных чисел, а в первой тысяче чисел их не более 400, поскольку в тысяче сто десяток.
а тройка чисел x, y и z есть некоторая перестановка тройки чисел a, b, c.
Осталось показать, что 
Поскольку числа x и y — некоторая пара чисел из a, b и c, какое-то одно из них совпадает с a или с b. Таким образом, достаточно доказать, что 
для u, v, 
Или что тоже самое, 
Но это очевидно, ибо 
и 
то 
а королей — не более 56. Расстановка 56 королей показана на рисунке.Дан параллелограмм ABCD. Из вершины B опустили перпендикуляр BO на сторону AD. Окружность ω с центром в точке O проходит через точки A, B и пересекает продолжение стороны AD в точке K. Отрезок BK пересекает сторону CD в точке L,
и 
прямоугольные треугольники ABO и BOK являются равнобедренными и, значит, 
Поскольку 
четырехугольник BLDO вписанный. Поэтому 
Осталось заметить, что угол BOM центральный угол, опирающийся на дугу BM, а угол BKM — вписанный угол, опирающийся на дугу BM. Следовательно, 
делится на ab. Докажите, что a является точным квадратом.
делится на ab, то n делится и на a. Значит, b2 делится на a. Стало быть, 
Покажем, что a и k взаимно просты. Предположим противное. Тогда найдется такое простое число p, что a и k делятся на p. При этом b2 делится на p и, значит, b также делится на p. Заметим далее, что 
делится на b и, в частности, на p. Но это невозможно, поскольку a и k делятся на p, а 1 не делится. Итак, числа a и k взаимно просты и в произведении дают точный квадрат. Следовательно, они сами являются точными квадратами.
Действительно, 
что является корнем f(x).
Тогда 
и 
Предположим, что можно так выбрать 
числа, что среди них не найдется нужной пары чисел. Пусть m — наименьшее из выбранных чисел. Тогда числа 
не выбраны. Удалим их и число m из набора 
а оставшееся множество обозначим через E. Рассмотрим пары чисел 
штук. Заметим, что объединение левых и правых частей этих пар дает множество E. Тогда любое выбранное число совпадает с левой или правой частью одной из пар. По предположению таких чисел ровно 
поэтому найдутся два из них, например a и b, принадлежащие одной паре. Тогда их разность равна 
или 
Значит, a и b удовлетворяют условию задачи, что невозможно. Всего: 719 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Докажите, что 
заключаем, что 
и 
Следовательно, по неравенству о средних для двух чисел 