РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1287 Добавить в вариант

Известно, что двузначное число при делении на 3 дает в остатке 1, а при делении на 5 дает в остатке 3. Найдите все такие числа.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим искомое число за A, тогда имеем A  =  3m  +  1  =  5n  +  3, откуда получаем линейное диофантово уравнение 3m − 5n  =  2. Легко подбирая частное решение m  =  n  =  − 1, получаем общее решение в виде:

$система выражений m= минус 1 плюс 5t,n= минус 1 плюс 3t, конец системы . t принадлежит Z ,$

откуда $A=15t минус 2, t принадлежит Z .$

Учитывая, что A  — двузначное число, получим $t=\overline1,6.$ Перебирая $t=\overline1,6,$ получим все искомые числа {13; 23; 43; 58; 73; 88}.

Ответ: {13; 23; 43; 58; 73; 88}.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Баллы
Полное обоснованное решение	7
Обоснованное решение с несущественными недочетами	6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений	5−6
Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев	4
Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи	2−3
Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении	1
Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Остатки и сравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь