РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1289 Добавить в вариант

Докажите, что для любых чисел a, b, c выполняется неравенство $a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате больше или равно ab минус bc минус ca.$

Спрятать решение

Решение.

Докажем, что неравенство выполняется:

$2 a в квадрате плюс 2 b в квадрате плюс 2 c в квадрате больше или равно 2 a b минус 2 b c минус 2 c a равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 2 a b плюс b в квадрате плюс b в квадрате плюс 2 b c плюс c в квадрате плюс a в квадрате плюс 2 a c плюс c в квадрате больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0.$ $2 a в квадрате плюс 2 b в квадрате плюс 2 c в квадрате больше или равно 2 a b минус 2 b c минус 2 c a равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 2 a b плюс b в квадрате плюс b в квадрате плюс 2 b c плюс c в квадрате плюс a в квадрате плюс 2 a c плюс c в квадрате больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс c правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0.$

получили верное неравенство $\forall a, b, c.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Баллы
Полное обоснованное решение	7
Обоснованное решение с несущественными недочетами	6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений	5−6
Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев	4
Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи	2−3
Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении	1
Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь