Всего: 719 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Пусть для чисел x и y запись 
обозначает число xy + 5x − 3 y − 12. Найдите значение выражения 
Заметим, что 
Следовательно, 
Далее получаем:
Ответ: −21.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 12 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или в результате описки/арифметической ошибки получен неверный ответ. | ± | 8 |
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. При этом решение не завершено. Отмечено, что  . | +/2 | 6 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Даны два положительных целых числа a и b. Могут ли числа a2 + 2b и b2 + 2a одновременно быть квадратами целых чисел?
Пусть 
Тогда
Таким образом, число a2 + 2b находится между двумя квадратами последовательных чисел и, следовательно, оно не может быть квадратом целого числа.
Ответ: нет, не могут.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 12 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. | ± | 8 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. При этом решение не завершено или при правильном ответе в нем отсутствуют важные обоснования. | +/2 | 6 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 2 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
За круглым столом разместились 18 человек. Сколькими способами можно выбрать из этих людей троих, чтобы между любыми двумя из выбранных людей находилось бы еще по меньшей мере два человека?
Пронумеруем места за столом по часовой стрелке от 1 до 18. Посчитаем, сколько троек мы можем создать, если один из людей сидит на первом месте. В этом случае мы не сможем взять людей, сидящих на 2, 3, 17 и 18 местах. То есть следующего мы сможем выбрать только 13 способами. Если следующим мы выбираем человека, сидящего на 4 месте, то следующего можно выбрать с 7 по 16 место, то есть 10 способами; если вторым выбираем человека на 5 месте, то третьего можно выбрать 9 способами и т. д. В итоге, если один из выбранных людей сидит на первом месте, то существует 10 + 9 + 8 + … + 2 + 1 = 55 способов подобного выбора.
Общее количество выбора троих людей указанным в условии способом равно: 
Отметим, что после умножения 55 на общее число людей, необходимо разделить на 3, так как в каждой тройке можно начинать выбор с любого из трех людей.
Ответ: 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 14 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования, в частности, может быть не пояснено деление произведения 55 и 18 на 3. Ответ верный. ИЛИ Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки/арифметической ошибки получен неверный ответ. | ± | 10 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Верно найдено количество способов выбора людей при фиксированном выборе первого человека в тройке. При этом решение не завершено. Ответ отсутствует или неверный. | +/2 | 7 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 3 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Пусть ABCD — вписанный четырехугольник, в котором стороны AB, BC, CD и AD таковы, что AB · BC = 2AD · DC. Докажите, что 
Пусть P — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Опустим в треугольниках ABC и ADC на сторону AC высоты BM и DN соответственно. Тогда
Из подобия треугольников BMP и DNP следует, что 
откуда BD = 3DP.
По теореме о пересекающихся хордах получаем
откуда вытекает неравенство Заметим, что равенство достигается, если AP = PC.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 14 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или доказательство данного неравенства. | ± | 10 |
| Решение не завершено, но содержит значительное продвижение в верном направлении. | +/2 | 7 |
| Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 3 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
По кругу сидят 10 или 11 человек так, что расстояния между любыми двумя соседями одинаковое. Затем эти люди пересели так, что расстояние по часовой стрелке между любыми двумя людьми изменилось, а расстояние между соседями по-прежнему оказалось одинаковым. Сколько человек сидело по кругу?
Будем рассматривать расстояния si между старым и новым положением человека. Все si должны быть разными, так как в противном случае получим, что расстояние между двумя какими-то людьми в результате пересадки не изменилось.
Пусть по кругу сидят n человек. Расстояния si могут принимать значения от 0 до n − 1. Рассмотрим человека, у которого расстояние равно s1, посмотрим куда пересел тот человек, на чье место пересел он, пусть у него расстояние равно s2 и так далее. Тогда последовательность этих расстояний образует цикл. Сумма длин всех таких циклов делится на n. Поскольку все расстояния разные, то сумма длин равна или 45 (если n = 10) (не делится на 10), или 55 (если n = 11) (делится на 11). Поскольку 45 не делится на 10, а 55 делится на 11, то получаем, что n = 11.
Ответ: 11.
| Критерии оценивания выполнения задания | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 16 |
| Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования при верном ответе. | ± | 12 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении, но отсутствуют важные обоснования при верном ответе. | +/2 | 8 |
| Ответ верный. Решение незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. | ∓ | 4 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. | − | 0 |
| Задача не решалась. | 0 | 0 |
Вычислите:
Вычислим:
Ответ: 2020.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все пары чисел (a, b), при которых функция
постоянна во всей области ее определения.
Отметим сначала, что при 
функция 
не определена ни для одного значения x. Если 
то получаем 
и не является постоянной, значит, 
Пусть теперь при всех x из области определения 
функции 
то есть при всех 
выполняется равенство 
Тогда, учитывая представление получим
или
при всех 
А это возможно тогда и только тогда, когда выполнятся следующая система уравнений:
Откуда получаем 
и затем 
Если 
то и чего быть не может, как отмечалось выше, следовательно,
где 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите в целых числах уравнение: 
Разложим левую часть уравнения, например, с помощью группировки, на множители:
Откуда получим следующий вид исходного уравнения: 
Учитывая, что x и y — целые числа, а число 7 — простое число, решение уравнения сводится к решению четырех систем:
Решая эти системы уравнений, получаем четыре пары решений: 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Из городка «Ух» в городок «Ах» в 
утра выехал Иван на своем велосипеде, проехав две трети пути, он миновал городок «Ох», из которого в этот момент времени в городок «Ух» отправился Петр пешком. В тот момент времени, когда Иван прибыл в городок «Ах», оттуда в обратном направлении выехал Николай на своем велосипеде и прибыл в городок «Ух» в 
утра этого же дня. В скольких километрах от городка «Ах» Николай догнал Петра, если Петр прибыл в городок «Ух» в 
утра того же дня, при этом скорость каждого участника движения была постоянной, а расстояние между городками «Ух» и «Ах» составляет всего 10 км.
Решим задачу графически-геометрическим способом. Изобразим графики движения Ивана через отрезок KL, Николая через отрезок LM и Петра через отрезок NP в системе координат 
где t — время в часах, s — расстояние в километрах от пункта А (рис. 1). Пусть Q — точка пересечения LM и NP. По условию 
и 
Проведём 
тогда по теореме Фалеса имеем
Тогда, если 
то 
а 
Откуда опять по теореме Фалеса имеем
Таким образом, искомое расстояние равно 
Отметим, что при поиске отношения 
можно использовать теорему Менелая. Точки N, Q и P лежат на одной прямой, поэтому
или
Следовательно, 
Ответ: 6 км.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Одна сторона некоторого треугольника в два раза больше другой, а периметр этого треугольника равен 60, наибольшая его сторона в сумме с учетверенной наименьшей равна 71. Найдите стороны этого треугольника.
Обозначим через a, b, с стороны треугольника, без ограничения общности, будем считать, что 
Учитывая условие задачи, запишем систему уравнений:
Так как одна из сторон треугольника в 2 раза больше другой, то рассмотрим три возможных случая.
1) Если 
то 
Следовательно, не выполняется неравенство треугольника 
необходимое для существования треугольника.
2) Если 
то из второго условия системы находим 
тогда 
Затем находим значение b из первого уравнения 
откуда следует 
что противоречит, что 
3) Если 
то система запишется в виде:
Откуда 
Полученное решение удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: 11, 22, 27.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Вычислите:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 643.
Ответ: 2019.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все пары чисел (a, b), при которых функция
постоянна во всей области ее определения.
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 644.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решите в целых числах уравнение:
Решение этой задачи полностью совпадает с решением задачи в варианте 1 под номером 646.
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За каждое правильное решение, найденное подбором — 1 балл.
Из городка «Ух» в городок «Ах» в утра выехал Иван на своем велосипеде, проехав две пятых пути, он миновал городок «Ох», из которого в этот момент времени в городок «Ух» отправился Петр пешком. В тот момент времени, когда Иван прибыл в городок «Ах», оттуда в обратном направлении выехал Николай на своем велосипеде и прибыл в городок «Ух» в этого же дня. В скольких километрах от городка «Ах» Николай догнал Петра, если Петр прибыл в городок «Ух» в 
того же дня, при этом скорость каждого участника движения была постоянной, а расстояние между городками «Ух» и «Ах» составляет всего
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 647.
Ответ: 5 км.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Одна сторона некоторого треугольника в два раза больше другой, а периметр этого треугольника равен 56, учетверенная наименьшая сторона на 21 длиннее наибольшей из сторон. Найдите стороны этого треугольника.
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 649.
Ответ: 11, 22, 23.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Замечание. За правильное решение, найденное подбором – 1 балл.
Найдите все решения уравнения: 
1) Пусть 
тогда 
получаем 
2) Пусть 
тогда 
получаем 
но так как то 
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Известно, что двузначное число при делении на 4 дает в остатке 3, а при делении на 3 дает в остатке 2. Найдите все такие числа.
Обозначим искомое число за A, тогда имеем 
откуда получаем линейное диофантово уравнение 
Легко подбирая частное решение 
получаем общее решение в виде
Учитывая, что A — двузначное число, получим 
Перебирая 
получим все искомые числа
Ответ:
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Коэффициенты квадратных трехчленов 
и 
удовлетворяют условию 
Возможно ли, чтобы и 
имели общий корень?
Решим задачу методом от противного. Предположим, что и имеют общий корень 
Так как все коэффициенты многочленов положительны, то все корни (если они есть) отрицательны, то есть 
Общий корень 
удовлетворяет условию 
Учитывая условие, что 
получим, что 
откуда следует, что 
Получили противоречие.
Ответ: нет.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что для любых чисел a, b, c выполняется неравенство 
Преобразуем исходное выражение:
получили верное неравенство для 
a, b, c .
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Внутренняя точка P остроугольного треугольника ABC удовлетворяет условию
Чем является точка точка P для треугольника ABC?
Проведем перпендикуляр PH к стороне AC и высоту BK. По теореме Пифагора 
или 
Hо по условию 
С другой стороны имеем, что 
или 
Тогда
Следовательно, точки H и K совпадают, тогда точка P лежит на высоте BK Аналогично доказывается, что точка Р лежит на двух других высотах треугольника ABC, откуда следует, что точка P является точкой пересечения высот треугольника ABC.
Ответ: точкой пересечения высот треугольника ABC.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Наверх