РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1284 Добавить в вариант

Докажите, что для любых чисел a, b, c выполняется неравенство $a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате больше или равно ab минус bc плюс ca.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное выражение:

$2 a в квадрате плюс 2 b в квадрате плюс 2 c в квадрате больше или равно 2 a b минус 2 b c плюс 2 c a равносильно a в квадрате минус 2 a b плюс b в квадрате плюс b в квадрате плюс 2 b c плюс c в квадрате плюс a в квадрате минус 2 a c плюс c в квадрате больше или равно 0 равносильно$ $2 a в квадрате плюс 2 b в квадрате плюс 2 c в квадрате больше или равно 2 a b минус 2 b c плюс 2 c a равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 2 a b плюс b в квадрате плюс b в квадрате плюс 2 b c плюс c в квадрате плюс a в квадрате минус 2 a c плюс c в квадрате больше или равно 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус c правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0.$

получили верное неравенство для $\forall$ a, b, c .

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь