РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1282 Добавить в вариант

Известно, что двузначное число при делении на 4 дает в остатке 3, а при делении на 3 дает в остатке 2. Найдите все такие числа.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим искомое число за A, тогда имеем $A=4 m плюс 3=3 n плюс 2,$ откуда получаем линейное диофантово уравнение $3 n минус 4 m=1.$ Легко подбирая частное решение $m=n= минус 1,$ получаем общее решение в виде

$система выражений m= минус 1 плюс 3 t, n= минус 1 плюс 4 t конец системы . \Rightarrow A=12 t минус 1, t принадлежит Z .$

Учитывая, что A  — двузначное число, получим $t=\overline1,8 .$ Перебирая $t=\overline1,8,$ получим все искомые числа

$левая фигурная скобка 11; 23; 35; 47; 59; 71; 83; 95 правая фигурная скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка 11; 23; 35; 47; 59; 71; 83; 95 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: числа. Остатки и сравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь