РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1283 Добавить в вариант

Коэффициенты квадратных трехчленов $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс bx плюс c$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс ax плюс d$ удовлетворяют условию $0 меньше a меньше b меньше c меньше d.$ Возможно ли, чтобы $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имели общий корень?

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу методом от противного. Предположим, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеют общий корень $x_0.$ Так как все коэффициенты многочленов положительны, то все корни (если они есть) отрицательны, то есть $x_0 меньше 0 .$ Общий корень $x_0$ удовлетворяет условию $x_0 левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка =d минус c .$ Учитывая условие, что $0 меньше a меньше b меньше c меньше d,$ получим, что $b минус a больше 0,$ $d минус c больше 0,$ откуда следует, что $x_0 больше 0.$ Получили противоречие.

Ответ: нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Разное. Доказательство от противного

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь