Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Докажите, что величины углов РВС и АМР равны.Можно ли в некоторых клетках шахматной доски 8 на 8 поставить по одной фишке так, чтобы число фишек в любых двух соседних горизонталях отличалось в 3 раза, а в любых двух соседних вертикалях — в 4 раза? Хотя бы одна фишка на доске должна быть.
Два спортсмена с постоянными скоростями бегают по овальной дорожке спортплощадки, первый из них пробегает дорожку полностью на 5 секунд быстрее, чем второй. Если они побегут по дорожке с одной точки старта в одном направлении, то в первый раз снова встретятся через 30 секунд. Через сколько секунд они в первый раз снова встретятся, если побегут по дорожке с одной точки старта в противоположных направлениях?
а из второго 
так как при этом первый догоняет второго с начальным отставанием S метров. Из второго уравнения выражаем 
подставляем в первое, вводим замену переменной 
и получаем уравнение 
откуда 
Выражаем 
подставляем во второе уравнение, имеем 
то есть 
секунд.
и 
имеют хотя бы один общий корень.
откуда 
что возможно только при 
В этом случае оба уравнения имеют общий корень 0.
уравнения действительно имеют общий корень, равный 0.В ряд слева направо записаны все натуральные числа от 1 до 37 в таком порядке, что каждое число, начиная со второго по 37-ое, делит сумму всех чисел, стоящих левее него: второе делит первое, третье — сумму первого и второго, и т.д, последнее — сумму первых тридцати шести. На первом слева месте оказалось 37, какое число стоит на третьем месте?
и должно равняться 19, так как 37 уже занято. Следовательно, на третьем месте стоит число 2.В квадрат АВСD вписана окружность, касающаяся его сторон АВ, ВС, СD, DA в точках P, Q, R и S соответственно. На отрезках АР и АS взяты точки M и N так, что отрезок MN касается вписанной окружности. Докажите, что отрезки МС и NR параллельны.
и 
По свойству касательных из одной точки отсюда следует, что длина MN равна их сумме, то есть 
Теорема Пифагора для треугольника AMN, даёт 
откуда 
Последнее равенство запишем как 
откуда сразу следует подобие прямоугольных треугольников BMC и DRN, влекущее параллельность их гипотенуз МС и NR.
Какое максимальное число квадратов 2 на 2 можно уложить на клетчатую доску размера 7 на 7 квадратов так, чтобы каждые два уложенных квадрата имели не больше одной общей клетки? Квадраты 2 на 2 укладываются по линиям сетки так, что каждый закрывает ровно 4 клетки. Квадраты не выходят за границу доски.
клеток и всего квадратов не более 
штук.Два лыжника стартовали из одной точки друг за другом с интервалом 9 минут. Второй лыжник догнал первого в 9 км от точки старта. Дойдя до отметки «27 км», второй лыжник развернулся и пошёл обратно, встретив первого на расстоянии 2 км от точки поворота. Найти скорость второго лыжника.
вычитая первое уравнение из второго, имеем 
значит, 
Подставляя в первое, получаем 
км в минуту, что равно 15 км в час. Второй лыжник бежит со скоростью 12 км в час.
и 
соответственно, а величина угла ВРС равна 
Однако, если бы точка Р лежала на описанной окружности треугольника АВС, то четырёхугольник АВРС был бы вписанным и сумма его противоположных углов ВАС и ВРС равнялась бы 
откуда А = 180 градусов, что невозможно.
по условию, 
Если 
то первое неравенство возможно лишь при 
и в этом случае их сумма равна нулю. Если 
то из второго неравенства следует 
и снова сумма всех чисел равна 0. Умножая числа на −1, если нужно, дальше можем считать 
Тогда 
откуда 
и 
откуда 
и 
Из второго неравенства условия теперь получаем 
и 
Следовательно, 
что и требовалось доказать.
и не рассмотрен симметричный случай 
для некоторых натуральных чисел x и y.
Заметим, что числа 
и x, а также числа 
и y взаимно просты, поэтому x в знаменателе может сократиться только с y в числителе, поэтому y делится на x и, в частности, y не меньше x. Аналогично, 
в частности, не превосходит его, откуда y не превосходит x. Следовательно, y равен x и 
Число 
получается при любой паре равных x и y, скажем, когда они равны 1.а) Квадрат размера 1 на 1 разбит на 25 не обязательно одинаковых прямоугольников, каждый из которых имеет одинаковый периметр p. Найти минимальное и максимальное возможное значение p. б) Можно ли разбить единичный квадрат на 30 не обязательно одинаковых прямоугольников периметра 2?
обозначим его стороны за x и y. По неравенству о среднем арифметическом и средним геометрическом имеем 
значит, периметр этого прямоугольника, равный 
не меньше 
Это значение достигается для разбиения квадрата на 25 одинаковых квадратиков со стороной 0,2.
даёт пример 
поэтому p максимальное точно больше 2. В любом разбиении единичного квадрата на 25 прямоугольников найдётся прямоугольник площади не больше 
и 
при этом 
и 
Следовательно, должен найтись такой x из интервала 
для которого 
Данная функция является квадратичной с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому её минимум на отрезке принимается в одном из концов этого отрезка. Соответствующие значения на концах равны 
Следовательно, 
и 
максимальное значение p равно 
б) Да, можно, способ указан в решении.Есть два слитка разных сплавов меди и олова весом 6 и 12 кг соответственно. От каждого из них отпилили по одинаковому куску и сплавили первый кусок с остатками второго слитка, а второй кусок — с остатками первого слитка, после чего соотношение меди и олова в двух полученных новых слитках оказалось одинаковым. Найти вес каждого из отпиленных кусков.
соответственно. Тогда доля олова после переплавки в первом слитке будет 
а во втором слитке 
и они, по условию, равны. Решая полученное уравнение, находим 
при всех 
Заметим, что каждое число входит ровно в шесть троек чисел, следовательно, сложив все десять сумм троек и поделив на 6, мы получим сумму всех пяти чисел, равную 16. Очевидно, что минимальной будет сумма 
откуда 
а максимальной — сумма 
откуда 
Значит, 
будет 
слагаемые которой в порядке возрастания не больше слагаемых любой другой, отличной от 
Предпоследней по величине перед 
будет 
слагаемые которой в порядке возрастания не меньше слагаемых любой другой, отличной от 
Теперь находим 
Итого: 
и найдены b и d.В турнире каждая из шести команд сыграла с каждой ровно по одному разу. В итоге команды набрали 12, 10, 9, 8, 7 и 6 очков соответственно. а) Сколько очков начислялось за победу в матче, если за ничью начислялось 1 очко, а за поражение — 0 очков? Ответом, естественно, должно быть натуральное число. б) Найдите количество выигрышей, ничьих и проигрышей у каждой команды и докажите единственность этих чисел. в) Приведите пример соответствующего турнира.
очка, откуда 
Всего игр было 15, поэтому x может равняться 1, 2 или 11. В первых двух случаях n равно 24 или 13, что превосходит максимальное количество очков, набранных командами, чего быть не может, так как победа в матче становится невозможной в принципе, значит, все матчи окончатся вничью, что противоречит предположению о x. В оставшемся случае x равен 11, тогда n равно 4 — количество очков, начисляемое за победу. 
ничьих, что больше общих 4. Следовательно, четвёртая команда дважды выиграла и трижды проиграла. В силу тех же соображений у третьей команды две победы и одна ничья, у второй — две победы и две ничьих. У всех команд, кроме первой, получаем не меньше 
ничьих, что равно их общему числу. Следовательно, у первой команды было три победы и два поражения. 
равно степени двойки не ниже второй, то обе переменных должны быть чётными числами. Действительно, 
если одна из переменных нечётна, то вторая тоже, так как сумма их кубов чётна. В таком случае вторая скобка в разложении будет нечётным целым числом, делящим степень двойки, то есть, 
Рассматриваем последнее равенство как квадратное уравнение относительно x, если оно имеет решение, его дискриминант, равный 
должен быть неотрицательным, что возможно только при 
При y = 0 получим 
откуда 
При y = 1 получим 
откуда 
При y = −1 получим 
откуда 
При нечётных x, y получаются две пары значений: (1, 1) и (−1, −1), для которых 
равно, соответственно, 2 и −2, поэтому подходит только первая пара (1, 1) и 
в котором правая часть снова является степенью двойки выше первой. Продолжая в том же духе, дойдём до уравнения 
Из решения уравнения 
в предыдущей части с учётом 
для 
получаем (1, 0) или (0, 1), откуда (x, y) равно (x, y) или 
из внутреннего радикала. Условие 
при этом тоже выполнено, так как обе части его неотрицательны и после возведения в квадрат оно равносильно неравенству 
Обе части исходного уравнения тоже не отрицательны, поэтому при возведении в квадрат получим равносильное уравнение 
что эквивалентно 
Пересекая с областью определения, получаем ответ 
все цифры которых различны и 
способами, затем выбрать из них две не максимальных и ненулевых цифры 
способами, и единственным способом расположить их слева от наибольшей в порядке возрастания, а обе оставшихся приписать справа от максимальной в порядке убывания. Всего имеем 
таких чисел.
способами, затем выбрать из них две не максимальных цифры 
таких чисел. Итого, получаем 756 + 378 = 1134 чисел.