В квадрат АВСD вписана окружность, касающаяся его сторон АВ, ВС, СD, DA в точках P, Q, R и S соответственно. На отрезках АР и АS взяты точки M и N так, что отрезок MN касается вписанной окружности. Докажите, что отрезки МС и NR параллельны.
Для удобства вычислений длину стороны квадрата примем равной 2, обозначим длины отрезков АN и АМ за x и y соответственно. Тогда отрезки SN и РМ имеют длины 
и 
По свойству касательных из одной точки отсюда следует, что длина MN равна их сумме, то есть 
Теорема Пифагора для треугольника AMN, даёт 
откуда 
Последнее равенство запишем как 
откуда сразу следует подобие прямоугольных треугольников BMC и DRN, влекущее параллельность их гипотенуз МС и NR.
