Могут ли биссектрисы двух соседних внешних углов треугольника (примыкающих к некоторой его стороне) пересекаться на его описанной окружности?
Возьмём соседние внешние углы треугольника АВС, примыкающие к его стороне ВС, обозначим их точку пересечения их биссектрис за Р. Обозначив величины углов треугольника при вершинах В и С самими этими буквами, получим, что величины углов РВС и РСВ равны 
и 
соответственно, а величина угла ВРС равна 
Однако, если бы точка Р лежала на описанной окружности треугольника АВС, то четырёхугольник АВРС был бы вписанным и сумма его противоположных углов ВАС и ВРС равнялась бы 
откуда А = 180 градусов, что невозможно.
Ответ: Не могут.