Точка М является серединой гипотенузы ВС прямоугольного треугольника АВС, а точка Р делит катет АС в отношении 
Докажите, что величины углов РВС и АМР равны.
По свойству медианы к гипотенузе прямоугольного треугольника, треугольник АМС является равнобедренным. Отметим на катете АС точку Т — середину отрезка РС, тогда длины отрезков АР, РТ и ТС равны. Следовательно, треугольника АМР и СМТ равны по паре сторон АР = СТ, АМ = СМ и углам МАР и МСТ между ними, поэтому равны и их соответствующие углы АМР и СМТ. Теперь заметив, что Т — середина СР и М — середина СВ, из теоремы, обратной теореме Фалеса, получаем параллельность прямых МТ и ВР, и равенство углов РВС и СМТ, последний из которых равен АМР, что и требовалось доказать.