а)  Пусть за по­бе­ду в матче ко­ман­де на­чис­ля­лось n очков, всего в тур­ни­ре было сыг­ра­но 15 мат­чей, из ко­то­рых x окон­чи­лись по­бе­дой одной из ко­манд, а осталь­ные 15 − x  — вни­чью. В ни­чей­ных мат­чах участ­ни­ки в сумме на­би­ра­ют 2 очка, а в осталь­ных  — n очков, по­это­му всего в тур­ни­ре всеми ко­ман­да­ми было на­бра­но очка, от­ку­да Всего игр было 15, по­это­му x может рав­нять­ся 1, 2 или 11. В пер­вых двух слу­ча­ях n равно 24 или 13, что пре­вос­хо­дит мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство очков, на­бран­ных ко­ман­да­ми, чего быть не может, так как по­бе­да в матче ста­но­вит­ся не­воз­мож­ной в прин­ци­пе, зна­чит, все матчи окон­чат­ся вни­чью, что про­ти­во­ре­чит пред­по­ло­же­нию о x. В остав­шем­ся слу­чае x равен 11, тогда n равно 4  — ко­ли­че­ство очков, на­чис­ля­е­мое за по­бе­ду.

б)  Найдём ко­ли­че­ство вы­иг­ры­шей, ни­чьих и про­иг­ры­шей у каж­дой ко­ман­ды. Всего было че­ты­ре ни­чьих и 11 мат­чей, окон­чив­ших­ся по­бе­дой одной из ко­манд. Каж­дая ко­ман­да про­ве­ла по пять игр, по­это­му 6 и более очков нель­зя было на­брать толь­ко за счёт ни­чьих, сле­до­ва­тель­но, ше­стая и пятая ко­ман­ды по разу вы­иг­ра­ли и сде­ла­ли по две и три ни­чьих со­от­вет­ствен­но. Если бы четвёртая ко­ман­да вы­иг­ра­ла не более од­но­го раза, у неё было бы не мень­ше четырёх ни­чьих, всего вме­сте с пятой и ше­стой было бы уже не мень­ше ни­чьих, что боль­ше общих 4. Сле­до­ва­тель­но, четвёртая ко­ман­да два­жды вы­иг­ра­ла и три­жды про­иг­ра­ла. В силу тех же со­об­ра­же­ний у тре­тьей ко­ман­ды две по­бе­ды и одна ничья, у вто­рой  — две по­бе­ды и две ни­чьих. У всех ко­манд, кроме пер­вой, по­лу­ча­ем не мень­ше ни­чьих, что равно их об­ще­му числу. Сле­до­ва­тель­но, у пер­вой ко­ман­ды было три по­бе­ды и два по­ра­же­ния.

в)  При­ведём при­мер со­от­вет­ству­ю­ще­го тур­ни­ра. Пятая ко­ман­да три­жды сыг­ра­ла вни­чью, а упер­вой и четвёртой  — ни­чьих не было. Зна­чит, пятая ко­ман­ды сыг­ра­ла вни­чью с ше­стой, тре­тьей и вто­рой. Кроме этих ни­чьих, остаётся по одной у ше­стой и вто­рой, по­это­му они сыг­ра­ли вни­чью между собой. Всё, ничьи за­кон­чи­лись, и они вос­ста­нав­ли­ва­ют­ся од­но­знач­но. А вот ре­зуль­та­тив­ные матчи од­но­знач­но вос­ста­но­вить нель­зя. Один из при­ме­ров, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию, такой: пер­вая ко­ман­да вы­иг­ра­ла у четвёртой, пятой и ше­стой, вто­рая  — у пер­вой и тре­тьей, тре­тья  — у пер­вой и ше­стой, четвёртая  — у вто­рой и тре­тьей, пятая  — у четвёртой, ше­стая  — у четвёртой.

Ответ: а) 4 очка. б) У пер­вой ко­ман­ды было три по­бе­ды, у вто­рой  — две по­бе­ды и две ни­чьих, у тре­тьей  — две по­бе­ды и одна ничья, у четвёртой  — две по­бе­ды, у пятой  — одна по­бе­да и три ничьи, у ше­стой  — одна по­бе­да и две ничьи. Осталь­ные матчи ко­ман­ды про­иг­ра­ли. в) Один из при­ме­ров, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию, такой: пер­вая ко­ман­да вы­иг­ра­ла у четвёртой, пятой и ше­стой, вто­рая  — у пер­вой и тре­тьей, тре­тья  — у пер­вой и ше­стой, четвёртая  — у вто­рой и тре­тьей, пятая  — у четвёртой, ше­стая  — у четвёртой. При этом пятая ко­ман­ды сыг­ра­ла вни­чью с ше­стой, тре­тьей и вто­рой, а также вни­чью сыг­ра­ли ше­стая и вто­рая ко­ман­ды.