Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
и 
таковы, что отношение четырёхзначного числа 
к сумме 
является целым числом. Найти все возможные значения, которые может принимать это число.
откуда 
Заметим, что 
следовательно, 
откуда 
то есть 
Аналогично, 
следовательно, 
откуда 
то есть 
получим два двузначных числа, для которых отношение из условия которых будет в точности равно n.
и 
на интервале [−1, 1] не превосходят по модулю 1. Найти максимальное возможное значение суммы 
из интервала [−1, 1], получим три неравенства: 
и 
Складывая второе с третьим, получим также 
вычитая второе из третьего (они двойные и симметричные!), имеем 
Вычитая из 
неравенство 
получим 
В силу симметрии условия задачи относительно умножения на −1, можем считать коэффициент a положительным. Если 
то 
по доказанному. Если 
то 
по доказанному. Если 
то 
Если 
то 
Таким образом, сумма 
в условиях задачи не превосходит 3.
его минимальное значение достигается внутри интервала в вершине параболы при 
максимальные значения достигаются на концах интервала при 
а сумма любых семи подряд будет равна 
откуда 
тогда искомый пример будет таким: 5, −7, 5, −7, 5, 5, −7, 5, −7, 5.
и 
Заметим, что, при 
будет 
с одновременным превращением неравенств в строгие при 
поэтому единственной точкой области определения будет 
что, как легко убедиться подстановкой, является решением уравнения.
Собственным делителем натурального числа называется любой его делитель, отличный от единицы и самого числа. Найти все натуральные числа, имеющие не меньше двух различных собственных делителей и делящиеся на разность любых двух из них.
следовательно, n должно делиться на их разность, то есть число 
должно быть целым. Последнее возможно только, когда 
— целое число, то есть когда 
— чётный делитель числа 8. Отсюда получаем все возможные 
Проверяем каждое из них, они все удовлетворяют условию задачи.
выполнена проверка.Различные прямые a и b пересекаются в точке О. Рассмотрим всевозможные отрезки АВ длины l, концы А и В которых лежат на a и b соответственно, и обозначим за Р точку пересечения перпендикуляров к прямым a и b, восстановленным из А и В соответственно. Найти геометрическое место точек Р.
где x — угол между прямыми a и b. Как мы уже заметили, ОР является диаметром этой окружности, следовательно, ОР всегда равен 
то есть точка Р всегда принадлежит окружности с центром О радиусом 
Угол АРВ равен x или 180 − x, следовательно, по теореме синусов АВ равен 
и точка Р является точкой пересечения перпендикуляров АР и ВР, восстановленных из концов отрезка АВ длины l, концы А и В которых лежат на a и b соответственно. Исключительный случай перпендикулярных прямых проверяется аналогично.
Найти все значения, которые может принимать сумма 
и 
тогда уравнение из условия можно записать как 
откуда 
легко получаем первое возможное значение 
Поделив на скобку 
имеем 
Подставим сюда 
и 
получим 
Рассмотрев последнее уравнение как квадратное относительно a, найдём его дискриминант, равный 
Данное уравнение разрешимо в единственном случае 
и его единственным корнем будет 
В этом случае 
— второй возможный ответ задачи. Проверка найденных значений не требуется, поскольку выполняемые нами преобразования были равносильными.
и 
для некоторых действительных чисел a, b, c, d. Найти все возможные значения выражения 
Выразим из второго равенства 
и подставим в равенство 
Избавившись от знаменателя, получим 
откуда ввиду 
получим 
Подставив это в равенство 
получим 
Ввиду равенства 
либо 
В обоих случаях 
то из 
или 
Первое невозможно в силу 
значит, 
откуда снова 
(если это необходимо в решении).
преобразуем уравнение к виду 
Сложим в нём первый и третий косинусы: 
и введём замену 
Получим уравнение 
из которого 
Отсюда находим три серии решений: 
Отбор корней тут не нужен.
Если добавить к обеим частям 8, это уравнение можно записать как 
Правая часть является произведение простых чисел 2, 19 и 23, откуда легко следует, что это единственное разложение данного числа в произведение трёх натуральных чисел, больших 1, и одно из них равно 2. Однако левая часть уравнения является произведением трёх натуральных чисел, каждое из которых не меньше трёх, что приводит к противоречию. Следовательно, равенство из условия задачи невозможно.
Чтобы корни существовали, дискриминант должен быть неотрицательным, т. е. 
и для 
соответствующие значения y будут одними и теми же.
В множестве Х из 17 элементов выделено семейство из N различных непустых подмножеств таких, что каждый элемент множества Х содержится ровно в двух подмножествах из этого семейства. Каково максимальное значение N? Найдите число всех возможных различных типов таких семейств для максимального N. Два семейства подмножеств имеют различные типы, если не получаются друг из друга перестановкой элементов Х.
С другой стороны, каждый элемент множества Х содержится ровно в двух подмножествах из этого семейства, поэтому S = 34, значит, N не превосходит 
Наконец, количество одноэлементных подмножеств х не превосходит числа элементов Х, равного 17, значит, N не превосходит 25. Отметим, что для N = 25 количество одноэлементных подмножеств в семействе может равняться 16 или 17.
откуда y не меньше 7. Если оно больше 7, то трёх- и более элементные множества в сумме содержали бы один элемент, что невозможно. Значит, единственная возможность: попарно непересекающиеся 7 двухэлементных и одно трёхэлементное подмножества. Вместе с 17 одноэлементными они дают первый пример искомого в условии семейства подмножеств. Пример семейства такого типа: 17 одноэлементных подмножеств {1}, {2}, ..., {17}, 7 двухэлементных подмножеств {1, 2}, {3, 4}, ..., {13, 14}, и трёхэлементное {15, 16, 17}.
откуда y не меньше 9. Значит, все большие подмножества двухэлементные. Всего в них 18 элементов, значит, два из них пересекаются по одному элементу (который не лежит ни в одном одноэлементном подмножестве), а остальные попарно не пересекаются. Вместе с 16 одноэлементными они дают второй, отличный от первого, пример искомого в условии семейства подмножеств. Пример семейства такого типа: 16 одноэлементных подмножеств {1}, {2}, ..., {16}, 9 двухэлементных подмножеств {1, 2}, {3, 4}, ..., {13, 14}, {15, 17}, {16, 17}.Пусть А и В — две различных фиксированных точки окружности, С — произвольная точка этой окружности, отличная от А и В, и МР — перпендикуляр, опущенный из середины М хорды ВС к хорде АС. Доказать, что прямые РМ при любом выборе С проходят через некоторую общую точку Т.
Основанием треугольной пирамиды SABC служит правильный треугольник ABC со стороной 4. Известно, что для произвольной точки M на продолжении высоты пирамиды SH (точка S находится между точками M и 
углы MSA, MSB, MSC, ASB, ASC и BSC равны между собой. Построен шар радиуса 1 с центром в точке 
Найдите объём общей части пирамиды SABC и шара (объём шара радиуса R вычисляется по формуле 
Тогда точка S будет являться центром описанного шара около правильного тетраэдра 
Следовательно, каждая из четырёх одинаковых пирамид SABC, SMAB, SMAC 
будет отсекать от шара радиуса 1 с центром в точке S одинаковую часть. Нетрудно подсчитать, что расстояние от точки S до плоскости ABC равно 
Так как 
то для нахождения объема общей части пирамиды SABC и шара радиуса 
с центром в точке S нужно из четверти объема шара 
вычесть объем шарового сегмента высотой 
Как известно, последний находится по формуле 
Для 
получаем 
Отсюда искомый объём равен 
Докажите, что для любого натурального числа n существует натуральное число N такое, что произведение 
представляет собой палиндром, то есть число, десятичная запись которого справа налево и слева направо читается одинаково. Например, для n = 1 можно взять N = 13, так как 
а его десятичная запись содержит не менее n цифр, то есть 
и 
Тогда, приписав к десятичной записи числа B произвольные цифры слева, вновь получим делящееся на 
число, а именно: число 
также делится на 
Очевидно, что 
Существует нечётное число C такое, что десятичная запись произведения 
содержит более n цифр. Например, 
тогда 
а запись числа 
содержит 
цифру. (Из нечетности C следует неравенство 
что далее существенно.)
в котором цифру x выберем так, чтобы сумма всех цифр числа V делилась на 9 (тогда и само V делится на 9). 
справедливо равенство 
Таким образом, существование натурального N доказано.
на плоскости сумма расстояний от которых до точек A(6,13) и B(18,4) равна 15. Заметим, что
радиуса 
Согласно формуле расстояния от точки до прямой (один из вариантов решения):
Точка M 
пересечения прямых 
и 
лежит на отрезке 
Если же центр S окружности лежит выше отрезка AB (это происходит при 
то требуются дополнительные рассуждения. Точка касания H есть проекция точки 
на прямую, содержащую отрезок 
Имеем:
и точка касания H лежит на отрезке 
постольку единственность решения возможна, когда
при которых расстояние от нее до точки A равно 
точка пересечения будет единственна, как и решение системы уравнений.
при нечетном 
Докажите, что при 
числа 
и 
иррациональны.
(p и q — взаимно простые числа) является корнем многочлена 
то p является делителем a0, а q — делителем ak. Предположим, что 
Тогда
тогда как значение правой части рационально.
Тогда 
где 
∪
Но то невозможно, так как при 
выполняется неравенство 
p — нечётное число; более того, если n∉
то всегда можно выбрать p так, что 
Тогда
иррационально. Значит, число 
также иррационально, ибо в противном случае рациональной была бы и правая часть последнего равенства.
показано, что 
число 
иррационально. Предположим, что при некотором n 
Тогда 
иррационально, следовательно, иррационально и число 
Далее из равенства 
Пять различных по весу гирь, каждая из которых весит целое число килограмм, были взвешены всевозможными группами по три гири. В результате получили следующие веса (в килограммах) десяти взвешенных групп: 10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24. Найдите веса этих пяти гирь.
— веса данных гирь. Поскольку каждая гиря входит в шесть из десяти взвешенных троек, то сумма полученных весов равна 
следовательно,
откуда 
и 
откуда 