Стро­ка или стол­бец могут со­дер­жать от 0 до 8 фишек, по­это­му, если их ко­ли­че­ства по стро­кам и по столб­цам раз­лич­ны, то мно­же­ство зна­че­ний ко­ли­честв фишек в стро­ках и мно­же­ство зна­че­ний ко­ли­честв фишек в столб­цах оба пред­став­ля­ют из себя ряд чисел 0, 1, 2, …, 7, 8 с одним про­пус­ком, причём про­пуск этот в обоих слу­ча­ях один и тот же и равен равен раз­но­сти 36 и числа фишек на доске. Если этот про­пуск не равен 0 или 8, то на доске од­но­вре­мен­но будет либо пу­стая срока и пол­ный стол­бец, либо на­о­бо­рот, что не­воз­мож­но.

Сле­до­ва­тель­но есть две воз­мож­но­сти: на доске стоят 36 фишек, и ко­ли­че­ства их в стро­ках и столб­цах равны 1, 2, 3, ..., 8, либо на доске стоят 28 фишек, и ко­ли­че­ства их в стро­ках и столб­цах равны 0, 1, 2, 3, ..., 7. Од­но­вре­мен­но меняя за­ня­тые клет­ки на пу­стые и на­о­бо­рот мы видим, что ко­ли­че­ства раз­ных рас­ста­но­вок пер­во­го и вто­ро­го типов равны.

Пусть нам дана про­из­воль­ная рас­ста­нов­ка пер­во­го типа, в ней най­дут­ся за­пол­нен­ная стро­ка и за­пол­нен­ный стол­бец  — всего 8 · 8  =  64 ва­ри­ан­та для вы­бо­ра их но­ме­ров. Вы­черк­нем их и по­лу­чим рас­ста­нов­ку 21 фишки на доске 7 на 7 с раз­ным чис­лом фишек в стро­ках и раз­ным чис­лом фишек в столб­цах. На доске 7 на 7 это со­от­вет­ству­ет рас­ста­нов­ке с пу­стой стро­кой и пу­стым столб­цом, для ко­то­рых есть 7 · 7  =  49 спо­со­бов вы­бо­ра. Снова вычёрки­ва­ем их, по­лу­ча­ем рас­ста­нов­ку 21 фишки на доске 6 на 6 и т. д. Про­дол­жая так, мы по­лу­чим (8!)² ва­ри­ан­тов вы­бо­ра но­ме­ров со­от­вет­ству­ю­щих строк и столб­цов (по­пе­ре­мен­но пол­ных и пу­стых), ко­то­рые пол­но­стью и од­но­знач­но опре­де­ля­ют дан­ную рас­ста­нов­ку 36 фишек на доске 8 на 8. До­бав­ля­ем к ним столь­ко же ва­ри­ан­тов рас­ста­но­вок 28 фишек на 8 на 8, по­лу­ча­ем ответ: 2 · (8!)².

Ответ: 2 · (8!)².