Натуральные числа от 1 до 100 записали подряд без пробелов. Затем, между некоторыми цифрами поместили знак плюс. (Например, 1234567 + 891011 … 15 + 1617 … 99100. ) Может ли получившаяся в результате сумма делиться на 111?
Остаток от деления числа на три равен остатку от деления на три суммы его цифр. Значит, сумма остатков от деления на три всех чисел, разделенных знаками плюс, равна остатку от деления на 3 суммы всех цифр у чисел от 1 до 100. В свою очередь, эта сумма цифр дает при делении на 3 тот же остаток, что и сумма 1 + ⋯ + 100 = 5050. Так как 5050 на три не делится, то на 3 не делится и сумма из условия задачи. Если число не делится на 3, то оно не делится и на 111.
Ответ: нет.