Различные прямые a и b пересекаются в точке О. Рассмотрим всевозможные отрезки АВ длины l, концы А и В которых лежат на a и b соответственно, и обозначим за Р точку пересечения перпендикуляров к прямым a и b, восстановленным из А и В соответственно. Найти геометрическое место точек Р.
Углы РАО и РВО прямые, следовательно, точки А, В, О и Р лежат на окружности с диаметром ОР. Значит, Р принадлежит описанной окружности треугольника АОВ, радиус которой, по теореме синусов, равен 
где x — угол между прямыми a и b. Как мы уже заметили, ОР является диаметром этой окружности, следовательно, ОР всегда равен 
то есть точка Р всегда принадлежит окружности с центром О радиусом 
Единственным исключительным случаем этой конструкции будет случай, когда прямые перпендикулярны и отрезок целиком лежит на одной из них, при этом одна из точек А и В совпадает с О. Но и тут точка Р совпадёт со второй из А и В и расстояние до неё по прежнему будет равно 
С другой стороны, рассмотрим произвольную точку Р этой окружности, опустим из ней перпендикуляры РА и РВ на прямые a и b соответственно. Тогда РО является диаметром описанной окружности треугольника РАВ, поэтому радиус её равен половине этого диаметра, то есть 
Угол АРВ равен x или 180 − x, следовательно, по теореме синусов АВ равен 
и точка Р является точкой пересечения перпендикуляров АР и ВР, восстановленных из концов отрезка АВ длины l, концы А и В которых лежат на a и b соответственно. Исключительный случай перпендикулярных прямых проверяется аналогично.
Ответ: Окружность с центром О радиусом где x — угол между прямыми a и b.