РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 326 Добавить в вариант

Решить уравнение: $\operatorname синус в квадрате x плюс \operatorname синус в квадрате 2 x плюс \operatorname синус в квадрате 3 x=2.$

Спрятать решение

Решение.

Воспользуемся формулой $синус в квадрате t= дробь: числитель: 1 минус косинус 2t, знаменатель: 2 конец дроби ,$ преобразуем уравнение к виду $косинус 6x плюс косинус 4x плюс косинус 2x= минус 1.$ Сложим в нём первый и третий косинусы: $2 косинус 2x косинус 4x плюс косинус 4x= минус 1$ и введём замену $косинус 2x=t.$ Получим уравнение $2t в кубе плюс t в квадрате минус t=0,$ из которого $t_1=0,$ $t_2= минус 1,$ $t_3= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Отсюда находим три серии решений: $x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $x_2= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,$ $x_1=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n.$ Отбор корней тут не нужен.

Ответ: $x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $x_2= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,$ $x_1=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи n.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Потеря одной серии решений, или их неверное нахождение.	4
Потеря двух серий, или их неверное нахождение.	2
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 3 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы тригонометрии. Формулы двойных углов, Методы тригонометрии. Формулы суммы и разности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь