Известно, что для любого натурального числа n верна формула:
Здесь ak — целые числа, и 
при нечетном 
Докажите, что при 
числа 
и 
иррациональны.
При доказательстве будем пользоваться следующим утверждением: если рациональное число 
(p и q — взаимно простые числа) является корнем многочлена
с целыми коэффициентами 
то p является делителем a0, а q — делителем ak. Предположим, что — рациональное число (при некотором 
1) Пусть n кратно 4, то есть 
Тогда
Такое равенство невозможно, так как левая часть — иррациональное число 
тогда как значение правой части рационально.
2) Пусть n — нечетное число и 
Тогда
Тогда — рациональный корень многочлена
и, по сформулированному выше утверждению, 
где 
∪
Но то невозможно, так как при 
выполняется неравенство
Вновь получено противоречие.
3) Пусть, наконец, n чётно и не кратно 4. Тогда n имеет нечётный делитель p, то есть 
p — нечётное число; более того, если n∉
то всегда можно выбрать p так, что 
Тогда
В предыдущем пункте доказано, что число 
иррационально. Значит, число 
также иррационально, ибо в противном случае рациональной была бы и правая часть последнего равенства.
Таким образом, для всех натуральных 
показано, что —
Покажем, что для всех натуральных 
число 
иррационально. Предположим, что при некотором n —
а) Пусть n — четное число, 
Тогда
По доказанному, число 
иррационально, следовательно, иррационально и число 
б) Пусть n нечётно. Аналогично первой части рассуждений доказывается иррациональность числа 
Далее из равенства
следует иррациональность числа