Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Три действительных числа таковы, что модуль каждого из них не меньше модуля суммы двух остальных. Докажите, что сумма всех трёх этих чисел равна нулю.
Решение.
Спрятать критерииОбозначим числа в условии за 
по условию, 
Если 
то первое неравенство возможно лишь при 
и в этом случае их сумма равна нулю. Если 
то из второго неравенства следует 
и снова сумма всех чисел равна 0. Умножая числа на −1, если нужно, дальше можем считать 
Тогда 
откуда 
и 
откуда 
и 
Из второго неравенства условия теперь получаем 
и 
Следовательно, 
что и требовалось доказать.
и не рассмотрен симметричный случай 
?
Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2018 год