Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
пересекается с некоторой окружностью в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на параболе, задаваемой уравнением вида 
для некоторых чисел a, b, c. Поскольку точки пересечения окружности и и параболы 
Возьмём любое простое число p и докажем, что степень его вхождения в z делится на 3. Понятно, что из этого следует, что z является кубом целого числа.
равно k, если n делится на pk и не делится на pk+1 (будем считать, что 
). Сгруппируем слагаемые:
на 3. 
Тогда z2 делится на p6k+2, а степень p, на которую делится x3, делится на 3. Таким образом, два слагаемых в левой части и правая часть делятся на попарно разные степени p, так как остатки этих степеней по модулю 3 различны (так как 
и 
не делятся на p). Тогда равенство не может быть выполнено. В случае 
аналогично равенство не может быть выполнено. Значит, остаётся только случай, где 
для некоторых простых p и q.
Из простоты p и q следует, что делителями правой части могут быть только числа 1, p, q и pq, одно из которых и должно равняться 
Ввиду того, что 1, p и q меньше 
получаем 
и 
Перепишем последнее равенство в виде 
откуда 
или 
и 
, 
, 
.По координатной плоскости, стартуя в начале координат, прыгает кузнечик. Первый прыжок длины один сантиметр направлен вдоль оси ОХ, каждый следующий прыжок на 1 см длиннее предыдущего, и направлен перпендикулярно предыдущему в одну из двух сторон по его выбору. Сможет ли кузнечик после 31-ого прыжка оказаться в начале координат?
Сумма в знаменателе содержит каждое из чисел 1, . . . , n по два раза, кроме двух чисел, которые в ней участвуют по одному разу. Тогда эта сумма меньше 
Отсюда:
Две окружности пересекаются в точках Р и М. На первой окружности выбрана произвольная точка А, отличная от Р и М и лежащая внутри второй окружности, лучи РА и МА вторично пересекают вторую окружность в точках В и С соответственно. Доказать, что прямая, проходящая через А и центр первой окружности, перпендикулярна ВС.
как вписанные во вторую окружность, опирающиеся на общую хорду РС, и 
как вписанные в первую окружность, опирающиеся на общую хорду РА. Следовательно, четырёхугольник ВТРЕ вписанный, поэтому 
и прямые АЕ и ВС перпендикулярны.
определённые на всей числовой прямой, удовлетворяющие уравнению 
для произвольных x и y.
тогда 
в условие, тогда:
Следовательно, 
— единственный кандидат в решения. 
— условие задачи выполнено, следовательно, 
.
.
?
для некоторого натурального 
Заметим, что десять чисел в скобках в обеих частях равенства в условии являются всевозможными попарными суммами чисел a, b, c, d, e, то есть попарными суммами чисел 
Из равенства в условии следует, что произведение всех этих десяти попарных сумм является точным квадратом натурального числа. Выразим это произведение через x: 
оно является квадратом тогда и только тогда, когда квадратом является 
Однако последнее выражение не может быть квадратом, так как оно меньше 
но больше 
в силу того, что 
.Сторона BC правильного треугольника ABC разделена на 2016 равных частей точками A1, . . . , A2015, стороны AC и AB — точками B1, . . . , B2015 и C1, . . . , C2015. Треугольник AiBjCk называется красным, если содержит центр ABC, и синим иначе. Каких треугольников больше, красных или синих?
от общего числа, то мы докажем, что всего синих больше, чем красных.
(тогда на каждой стороне n точек, всего n3 треугольников; каждая сторона разделена на 6l равных частей). Тогда нам надо доказать, что из 
пар (Bj, Ck) более 
) удовлетворяет условию.
имеет вид:
в точках (0, 0) и (1/3, 1/3) должна быть одного знака, то есть отрицательна, то есть 
Таким образом, нам нужно показать, что строго внутри области с синей границей лежит не менее шестой части точек вида
синих точек. Внутри треугольника с вершинами (2/3, 2/3), (1, 1/2), (1, 2/3), исключая вершину и точки прямой 
остаётся 
точки. Суммарно получаем 
точки, что меньше 
однако ещё есть точки строго внутри жёлтых областей, которых нам достаточно найти ещё хотя бы 2 штуки. Или в одной области хотя бы две точки. Возьмём тогда в левой жёлтой области точки 
и 
(2016 делится на 24, так что эти точки нам подходят).
целых точек границы многоугольника. Тогда вычисление площади по формуле Пика даёт равенство
Квадратное уравнение имеет корни 
Но 2016 > 24 (поэтому 
), поэтому неравенство выполнено.Лыжник спускается с вершины горы к её подножию за 9 минут, а сноубордист — за 7 минут. Спустившись, они тут же поднимаются вверх на подъёмнике, а затем сразу же спускаются вновь. В 12:00 они одновременно начали спуск с вершины. Впервые они встретились у подножия в 17:45. Определите время подъёма от подножия до вершины.
Из условий задачи следует, что впервые у подножия горы они встретились через 345 минуты. Значит, впервые на вершине горы они встретятся через 
минут. В таком случае x — это такое минимальное натуральное число, что 
— делитель 
и 
—
Перебором устанавливаем, что 
Тогда
На плоскости изображён квадрат
клеток. Вершины клеток будем называть узлами. Требуется в этом квадрате уложить трубу («тёплый пол») так, чтобы вход был в левом нижнем углу, а выход – в соседнем узле, и при этом труба прошла бы ровно один раз через каждый узел. Трубу разрешается укладывать только по границам клеток. На рисунке изображён пример укладки трубы в квадрате 3×3. Докажите, что уложить трубу возможно при любом нечётном значении n и невозможно ни при каком чётном n.
— нечётное число. Раскрасим узлы в черный белый цвет так, чтобы соседние узлы имели разные цвета. Тогда маршрут начинается узлом оного цвета, а заканчивается узлом другого цвета. Но тогда такой маршрут имеет чётную длину (количество пройденных узлов). Следовательно, невозможно построить соответствующий маршрут.
и 
равны друг другу (так как оба равны удвоенной площади треугольника, умноженной на 
и, следовательно, сокращаются. Остается доказать, что
и 
Равенство доказано.Запишем подряд все натуральные числа, кратные девяти:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …
У каждого из этих чисел подсчитаем сумму цифр. В результате, получим последовательность:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, …
Найдите сумму первых 550 членов этой последовательности.
— количество чисел в этом диапазоне, у которых сумма цифр равна 9, c18 — количество чисел с суммой цифр 18, 
— количество чисел с суммой цифр 27.
т. е. те, у которых первая цифра ноль. Выясним, сколькими способами число 9 может быть представлено в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых: 
чисел с суммой цифр 9 вида 1m1m2m3, 
чисел 2m1m2m3, 
чисел 3m1m2m3, и, наконец, 
чисел 4m1m2m3. В итоге, 
и, следовательно, 
Для получения ответа остается вычислить 
и 
второе эквивалентно 
Итого, 
Ввиду неотрицательности левой и правой частей уравнения можно возвести всё в квадрат, получив 
то есть 
При 
получим единственный ответ 
а при 
получим верное тождество 1 = 1, поэтому весь этот промежуток является решением.
Сначала шарики были разложены по нескольким белым и чёрным коробкам так, что в каждой белой было по 31 шарику, а в каждой чёрной — по 26 шариков. Затем принесли ещё три коробки и разложили шарики так, что в каждой белой коробке стало по 21 шарику, а в каждой чёрной — по 16 шариков. Можно ли принести ещё несколько коробок и разложить шарики так, чтобы в каждой белой коробке стало по 15 шариков, а в каждой чёрной — по 10 шариков?
Тогда и горизонтальная проекция отрезка AB имеет длину не больше 
поэтому длина отрезка АB не больше 
.
таких, что среди всех возможных попарных сумм этих натуральных чисел ровно 7 различных. Общее количество пар из n чисел равно 
и должно быть не меньше 7, поэтому 
С другой стороны, ввиду очевидных неравенств: 
имеем 
и 
Следовательно, 
и каждая невыписанная попарная сумма чисел 
и все они больше 
и меньше 
По условию, они должны совпадать с суммами 
в указанном порядке. Отсюда: 
следовательно, числа 
образуют арифметическую прогрессию. Тогда их сумма равна 
откуда следует, что число 4032 должно делиться на 5 — противоречие. 
.
.