Сторона BC правильного треугольника ABC разделена на 2016 равных частей точками A1, . . . , A2015, стороны AC и AB — точками B1, . . . , B2015 и C1, . . . , C2015. Треугольник AiBjCk называется красным, если содержит центр ABC, и синим иначе. Каких треугольников больше, красных или синих?
Рассмотрим три условия:
• точки O и A по одну сторону от прямой BjCk,
• точки O и B по одну сторону от прямой AiCk,
• точки O и C по одну сторону от прямой AiBj.
Если хотя бы одно из них выполнено, треугольник AiBjCk является синим. Если все три не выполнены, треугольник является красным. Понятно, что верно из трёх условий может быть максимум одно, и количества соответствующих синих треугольников равны. Поэтому мы будем рассматривать первое условие. Таким образом, если мы покажем, что треугольников, для которых выполнено первое условие, больше 
от общего числа, то мы докажем, что всего синих больше, чем красных.
Заметим, что первое условие не зависит от положения точки Ai, а зависит только от Bjи Ck. Для краткости обозначим 
(тогда на каждой стороне n точек, всего n3 треугольников; каждая сторона разделена на 6l равных частей). Тогда нам надо доказать, что из 
пар (Bj, Ck) более части (то есть строго более 
) удовлетворяет условию.
Рассмотрим аффинную систему координат, в которой A = (0, 0), C = (1, 0), B = (0, 1). Тогда в этой системе координат:
Уравнение прямой 
имеет вид:
Чтобы точки A и O лежали с одной стороны от BjCk, линейная функция 
в точках (0, 0) и (1/3, 1/3) должна быть одного знака, то есть отрицательна, то есть 
Таким образом, нам требуется показать, что неравенство
имеет решений более n2/6 при j, k ∈ {1, . . . , n}, то есть более 
Таким образом, нам нужно показать, что строго внутри области с синей границей лежит не менее шестой части точек вида
для j, k ∈ {1, . . . , n}.
Основная идея состоит в том, что зелёная область составляет 1/6 площади квадрата, поэтому вместе с жёлтой областью это уже строго больше 1/6, так что при больших n всегда больше синих треугольников, чем красных. Однако эту идею проще реализовать при n, стремящемся к бесконечности, а нам требуется доказательство для n = 2015. Перейдём к строгому доказательству.
Строго внутри квадрата [2/3, 1]×[2/3, 1] лежит 
синих точек. Внутри треугольника с вершинами (2/3, 2/3), (1, 1/2), (1, 2/3), исключая вершину и точки прямой 
остаётся 
точки. Суммарно получаем 
точки, что меньше 
однако ещё есть точки строго внутри жёлтых областей, которых нам достаточно найти ещё хотя бы 2 штуки. Или в одной области хотя бы две точки. Возьмём тогда в левой жёлтой области точки 
и 
(2016 делится на 24, так что эти точки нам подходят).
Ответ: больше синих треугольников.
Приведём слегка другой метод завершения доказательства. Рассмотрим вершины зелёного четырёхугольника, а также 4 найденные дополнительные точки в жёлтых областях. По формуле Пика (или «счётом по клеточкам», что на самом деле почти одно и то же) можно получить, что площадь их общей выпуклой оболочки равна 
При растяжении картинки в 24l раз (2016 делится на 24, то есть этот случай нам подходит) многоугольник имеет 8 целых вершин, на его сторонах лежит 18(l − 1) вершин, строго внутри N целых точек. Однако синие треугольники дают также 
целых точек границы многоугольника. Тогда вычисление площади по формуле Пика даёт равенство
Остаётся доказать, что
что равносильно 
Квадратное уравнение имеет корни 
Но 2016 > 24 (поэтому 
), поэтому неравенство выполнено.
Замечание. На самом деле красных треугольников больше для n = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, количества равны при n = 6 и 12. При всех остальных n синих треугольников больше.