Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD расположены четыре окружности одного радиуса так, что они имеют общую точку и каждая из них вписана в один из углов четырёхугольника. Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
Обозначим точку пересечения окружностей через O, центры окружностей обозначим A', B', C', D'. Поскольку все четыре окружности имеют равный радиус, OA' = OB' = OC' = OD'. Таким образом, O является центром окружности, описанной вокруг A'B'C'D'. Значит, сумма противоположных углов в четырёхугольнике A'B'C'D равна 180°. Прямая AB является общей касательной к паре пересекающихся окружностей равного радиуса с центрами в A' и B', поэтому AB || A'B'. Аналогично параллельны остальные соответствующие пары сторон. Значит, в четырёхугольнике ABCD суммы противоположных углов также равны 180°, так что он также является вписанным.