сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Числа P1, . . . , Pn яв­ля­ют­ся пе­ре­ста­нов­кой на­бо­ра чисел {1, . . . , n} (то есть каж­дое Pi равно од­но­му из 1, . . . , n, и все Pi раз­лич­ны). До­ка­жи­те не­ра­вен­ство:

\sum пре­де­лы: от i=1 до n минус 1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: P_i плюс P_i плюс 1 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: n минус 1, зна­ме­на­тель: n плюс 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По не­ра­вен­ству о сред­нем ариф­ме­ти­че­ском и сред­нем гар­мо­ни­че­ском имеем:

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n_1 конец дроби плюс ... плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: n_k конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: k в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: n_1 плюс ... плюс n_k конец дроби

В нашем слу­чае сла­га­е­мых k = n минус 1. Сумма в зна­ме­на­те­ле со­дер­жит каж­дое из чисел 1, . . . , n по два раза, кроме двух чисел, ко­то­рые в ней участ­ву­ют по од­но­му разу. Тогда эта сумма мень­ше 2 левая круг­лая скоб­ка 2 плюс . . . плюс n пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . От­сю­да:

\sum пре­де­лы: от i=1 до n минус 1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: P_i плюс P_i плюс 1 конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \sum_i=1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка P_i плюс P_i плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: n минус 1, зна­ме­на­тель: n плюс 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Не­ра­вен­ство пол­но­стью до­ка­за­но.20
До­ка­за­но не­стро­гое не­ра­вен­ство.17
Рас­смот­ре­на идея ис­поль­зо­ва­ния не­ра­вен­ства между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­нем гар­мо­ни­че­ским.6
Не­вер­ный пе­ре­ход в до­ка­за­тель­стве по ин­дук­ции

ИЛИ

ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.

0
Мак­си­маль­ный балл20
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024