сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

За­пи­шем под­ряд все на­ту­раль­ные числа, крат­ные де­вя­ти:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, …

У каж­до­го из этих чисел под­счи­та­ем сумму цифр. В ре­зуль­та­те, по­лу­чим по­сле­до­ва­тель­ность:

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, …

Най­ди­те сумму пер­вых 400 чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

У на­ту­раль­ных чисел, крат­ных де­вя­ти, от 9 до 3600 надо под­счи­тать суммы цифр, а затем эти суммы сло­жить. Пусть c9  — ко­ли­че­ство чисел в этом диа­па­зо­не, у ко­то­рых сумма цифр равна 9, c_18  — ко­ли­че­ство чисел с сум­мой цифр 18, c_27  — ко­ли­че­ство чисел с сум­мой цифр 27.

Вы­чис­лим c_9. Будем все числа трак­то­вать как че­ты­рех­знач­ные: 9  =  0009, 18  =  0018, … Рас­смот­рим сна­ча­ла числа вида 0m1m2m3, то есть те, у ко­то­рых пер­вая цифра ноль. Вы­яс­ним, сколь­ки­ми спо­со­ба­ми число 9 может быть пред­став­ле­но в виде суммы трех целых не­от­ри­ца­тель­ных сла­га­е­мых:

9=m_1 плюс m_2 плюс m_3.

При­ба­вим к обеим ча­стям число 3:

12= левая круг­лая скоб­ка m_1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка m_2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка m_3 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­лу­ча­ет­ся, что надо найти ко­ли­че­ство спо­со­бов пред­ста­вить число 12 в виде суммы трех на­ту­раль­ных сла­га­е­мых. Это ко­ли­че­ство равно C_11 в квад­ра­те .

Дей­стви­тель­но, пред­ста­вим себе на чис­ло­вой пря­мой числа 1, 2, …, 12. Между ними име­ет­ся 11 про­ме­жут­ков. Вы­брав два про­ме­жут­ка, мы разо­бьем 12 на три не­ну­ле­вых сла­га­е­мых. Ана­ло­гич­но, име­ет­ся C_10 в квад­ра­те чисел с сум­мой цифр 9 вида 1m1m2m3, C_9 в квад­ра­те чисел 2m1m2m3 и, на­ко­нец, C_8 в квад­ра­те чисел 3m1m2m3. За­ме­тим, что при под­сче­те ко­ли­че­ства чисел вида 3m1m2m3 вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

6=m_1 плюс m_2 плюс m_3,

по­это­му рас­смат­ри­ва­е­мые числа 3m1m2m3 будут ав­то­ма­ти­че­ски не боль­ше, чем 3600. В итоге,

c_9=C_11 в квад­ра­те плюс C_10 в квад­ра­те плюс C_9 в квад­ра­те плюс C_8 в квад­ра­те =164.

 

Затем не­по­сред­ствен­ным под­сче­том на­хо­дим c_27=10, и, сле­до­ва­тель­но, c_18=226. Для по­лу­че­ния от­ве­та оста­ет­ся вы­чис­лить 9c_9 плюс 18c_18 плюс 27c_27.

 

Ответ: 5814.


Аналоги к заданию № 88: 111 Все