Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Фонари располагаются на плоскость, освещая все точки угла южнее и западнее себя. (То есть фонарь в точке с координатами (a, b) освещает точки (x, y) с координатами 
) На плоскость уже выставили 2018 синих фонарей, поместив их в различные точки. Можно ли дорасставить на плоскости 2017 красных фонарей, так что любая точка плоскости, освещённая ровно k > 0 синими фонарями, будет освещена ровно k − 1 красным фонарём? (Красные фонари можно располагать в точки, занятые другими фонарями, предполагая, что это не мешает освещению).
Треугольник ABC, в котором AB > AC, вписан в окружность с центром в точке O. В нём проведены высоты AA' и BB', и BB' повторно пересекает описанную окружность в точке N. Пусть M — середина отрезка AB. Докажите, что если ∠OBN = ∠NBC, то прямые AA', ON и MB' пересекаются в одной точке.
Прямоугольник 13 × 9 составлен из трёх типов фигурок:
(сторона клетки равна 1). Какое наименьшее число фигурок типа B может быть при этом использовано? При выкладывании прямоугольника фигурки разрешается как угодно поворачивать и переворачивать.
Из натурального числа n разрешается получить либо число n2 + 2n, либо число n3 + 3n2 + 3n. Два натуральных числа называются совместимыми, если из них можно получить одно и то же число с помощью некоторого количества таких операций. Найдите все числа, совместимые с числом 2018.
Таким образом, все натуральные числа, эквивалентные заданному k, имеют вид 
для рациональных q1, q2. Соответственно, для n = 2018 все совместимые с ним числа будут иметь вид 
Число 2019 = 3 · 673 не является степенью натурального числа выше первой. Таким образом, рациональные числа q1 и q2 должны быть целыми, для любых целых q1 и q2 мы получаем совместимые с 2018.
для неотрицательных целых k и n.
Вычитаем учетверённое первое уравнение из второго, получаем 
откуда 
значит, 
С другой стороны, 
значит, 
откуда 
Следовательно, подходить может единственный вариант: 
Проверяем его подстановкой во второе уравнение и убеждаемся, что это решение.
и не больше 
Следовательно, разность между суммой всех цифр числа, стоящих на нечётных местах и суммой его цифр, стоящих на чётных местах, равная 
является нечётным числом из интервала от −15 до 25, делящимся на 11. 
и 
Соображения максимальности дают для них число 79483625140.
по теореме, обратной теореме Фалеса это влечёт параллельность PQ и АВ (и то, что отношение их длин равно 1 к 3). Аналогично доказывается параллельность остальных пар сторон. Строго говоря, отсюда следует подобие четырёхугольников с коэффициентом 
но это для решения задачи не нужно.
из первого равенства имеем 
причём, если 
и из второго равенства 
Следовательно, для любой пары чисел из нашей либо эти числа равны, либо их сумма равна 2 и произведение оставшейся пары чисел равно 1. В частности, среди чисел нашей четвёрки содержится максимум два различных числа. 
Ввиду монотонности функции 
являющейся суммой двух монотонно возрастающих функций 
и 
решение будет единственно: 
Получаем первую искомую четвёрку 
Если чисел, равных a, ровно два, то 
откуда 
и мы имеем на самом деле случай 1). Если чисел, равных a, ровно три, то 
и, либо 
и мы получаем новую искомую четвёрку 
Добавляя решения, получающиеся перестановками переменных, получим три новых четвёрки.
и 
Возьмем любую пару значений λ, при которой дискриминант принимает одно и то же положительное значение, например при λ = 10 и λ = −12 имеем t ∈ {0, 9} и t ∈ {−11, −2} — пересечений нет. Итак, ответ x = 1. 
раскладывается на линейные множители с целочисленными коэффициентами?
Следовательно, ab = −n, то числа a и b разных знаков и не равны нулю. Без ограничения общности будем считать, что 
Поскольку 
то
Вовочка хочет передать Наташе на уроке записку в подписанном конверте, при этом конверт в известном порядке сначала проходит через весь остальной класс. Каждый ученик, кроме Наташи, может недолюбливать одного одноклассника, и, если передает конверт, подписанный собой, меняет на этого кого-то, если подписанный этим кем-то — на себя, иначе просто передаёт дальше по цепочке. Сколько учеников в классе могут кого-то недолюбливать, если Вовочка может так заранее подписать записку, чтобы Наташе конверт дошёл с любым именем, с каким он хочет? (Все имена в классе различны).
Гриша нарисовал на плоскости выпуклый 100-угольник и провел все его диагонали, и, о чудо, ни в какой точке кроме вершин 100-угольника не пересеклось больше двух отрезков. Сколькими способами Гриша может обвести маркером часть имеющихся на рисунке линий, чтобы получить треугольник (не обязательно состоящий из целых диагоналей и, быть может, содержащий внутри себя не обведенные линии)?
В тридесятом государстве 29 февраля одного стародавнего года на ярмарке купец продавал сапоги-самоплясы за 2000 алтын. По правилам торговли, цена на товар корректируется каждое утро перед открытием. Цену можно увеличить на 10%, можно уменьшить на 1% или на 12% относительно цены предыдущего дня, а можно вообще не менять. При этом цена должна быть целым числом алтын, округлять ее нельзя. 1 апреля того же года боярин из торговой инспекции обнаружил, что у того же купца те же сапоги-самоплясы стоят 2017 алтын, и составил акт о нарушении правил торговли. Купец в ответ на это заявил, что никаких нарушений он не допускал. Кто из них прав?
или 
При любом другом изменении новая цена должна делиться на 11. Число 2017 на 11 не делится, а потому оно не может быть получено с помощью нескольких таких изменений.В кубическом сундуке со стороной 2n дм хранится 8n различных пряностей: в него упакованы восемь закрытых кубических коробок со стороной 2n−1 дм, в каждую из них — восемь закрытых кубических коробок со стороной 2n−2 дм, и так далее вплоть до коробок со стороной 1 дм, в каждой из которых лежит своя пряность.
В одной из маленьких коробок оказалась мышь, которая хочет отведать всех пряностей, посетив каждую коробку ровно по одному разу и вернувшись в конце пути в родную коробку. Прогрызая стенки, мышь может попадать из данной маленькой коробки в любую граничащую с ней по грани (но не может в граничащие лишь по ребру или вершине). Какое минимальное число отверстий в стенках коробок (всех размеров) ей предстоит прогрызть для осуществления своей мечты?
Опишите какой-нибудь путь мыши с минимальным числом отверстий в стенках и вычислите, у скольких маленьких коробок при этом окажутся прогрызены две противоположные стенки.
Замечание. Для разных путей, дающих верный ответ в этой задаче, может получиться разное число коробок с прогрызенными противоположными стенками. Участникам, у которых число таких коробок окажется наибольшим, будут вручены памятные призы. (Это достижение не влияет на оценку работы и присвоение званий победителя и призера олимпиады.)
для всех 
Найдите x2017, если x1 = 6.
при всех натуральных n:
— верно.
то 
Рассмотрим всевозможные приведенные квадратные трёхчлены x2 + px + q с целыми коэффициентами p и q. Назовём областью значений такого трехчлена множество его значений во всех целых точках x = 0, ±1, ±2, . . . . Какое наибольшее количество таких трехчленов можно выбрать, чтобы их области значений попарно не пересекались?
(квадратные скобки означают целую часть) можем считать, что любой многочлен имеет один из двух видов: x2 + q или x2 + x + q.Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
или 
имеем: