Сде­ла­ем за­ме­ну k = n + 1 и будем счи­тать, что мы пре­об­ра­зу­ем число k, ко­то­рое может при­ни­мать зна­че­ния на­ту­раль­ных чисел, кроме еди­ни­цы. За­ме­на n → n² + 2n для k со­от­вет­ству­ет за­ме­не f₁: k = n + 1 → n² + 2n + 1 = k². Вто­рая за­ме­на со­от­вет­ству­ет f₂: k → k³. За­ме­тим, что для лю­бо­го k верно f₁(f₂(k)) = f₂(f₁(k)). Таким об­ра­зом, если мы при­ме­ня­ем не­сколь­ко раз опе­ра­ции f₁ и f₂ к числу k, не­ва­жен по­ря­док, а важно толь­ко ко­ли­че­ство опе­ра­ций.

До­пу­стим, числа k₁ и k₂ эк­ви­ва­лент­ны. Тогда при­ме­не­ни­ем опе­ра­ций к од­но­му и дру­го­му чис­лам не­сколь­ко раз можно по­лу­чить одно и то же число, то есть Таким об­ра­зом, все на­ту­раль­ные числа, эк­ви­ва­лент­ные за­дан­но­му k, имеют вид для ра­ци­о­наль­ных q₁, q₂. Со­от­вет­ствен­но, для n = 2018 все сов­ме­сти­мые с ним числа будут иметь вид Число 2019 = 3 · 673 не яв­ля­ет­ся сте­пе­нью на­ту­раль­но­го числа выше пер­вой. Таким об­ра­зом, ра­ци­о­наль­ные числа q₁ и q₂ долж­ны быть це­лы­ми, для любых целых q₁ и q₂ мы по­лу­ча­ем сов­ме­сти­мые с 2018.

Ответ: числа вида для не­от­ри­ца­тель­ных целых k и n.