Фонари располагаются на плоскость, освещая все точки угла южнее и западнее себя. (То есть фонарь в точке с координатами (a, b) освещает точки (x, y) с координатами 
) На плоскость уже выставили 2018 синих фонарей, поместив их в различные точки. Можно ли дорасставить на плоскости 2017 красных фонарей, так что любая точка плоскости, освещённая ровно k > 0 синими фонарями, будет освещена ровно k − 1 красным фонарём? (Красные фонари можно располагать в точки, занятые другими фонарями, предполагая, что это не мешает освещению).
Докажем, что дорасставить требуемым образом фонари можно.
Разделим синие фонари на два вида — освещённые другими и нет. Пусть неосвещённые имеют координаты (x1, y1), . . . , (xn, yn). Все x-координаты различны, так как иначе бы какой-то из фонарей освещал бы какой-то другой. Тогда можно считать, что x1 < . . . < xn. Тогда y1 > . . . > yn, так как иначе бы какой-то из этих фонарей освещал бы какой-то другой.
Расставим красные фонари в точки (x1, y2), (x2, y3), . . . , (xn − 1, yn), а также во все точки, где стоят освещённые другими синими фонарями синие фонари.
Рассмотрим производную точку плоскости. Если она не освещалась ни одним синим фонарём, то не будет освещаться ни одним красным. Если она освещается хотя бы одним синим, то освещается хотя бы одним синим, который не освещается другими синими. Тогда для выбранной точки
• количество синих, освещённых другими синими и освещающих данную точку, сохранится;
• количество синих, не освещённых другими синими и освещающих данную точку, уменьшится на 1.
Таким образом, найденная нами расстановка является требуемой.
На самом деле данная расстановка является единственной.
Ответ: да, можно.