РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 150 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число, которое можно получить при подстановке натуральных чисел вместо переменных в следующее выражение 13x² + y² + z² − 4xy − 6xz + y.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$13x в квадрате плюс y в квадрате плюс z в квадрате минус 4xy минус 6xz плюс y= левая круглая скобка 2x минус y правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 3x минус z правая круглая скобка в квадрате плюс y. левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Поскольку квадрат целого числа всегда неотрицательное число, он достигает минимума, когда равен 0. Натуральное число y не меньше 1. Если же y = 1, то число (2x − y)  — нечётное и его квадрат также не меньше 1. Поэтому выражение (1) не меньше 2 для любых натуральных x, y, z. Значение 2 может быть достигнуто несколькими способами, например, x = 1, y = 2, z = 3 или x = 1, y = 1, z = 3.

Ответ: 2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Приведено полное доказательство .	20
Несущественные неточности в рассуждении.	19
Оценка без примера.	10
Только пример.	4
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	20

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. Чётность / нечётность, Методы алгебры. Выделение полного квадрата, Разное. Оценка плюс пример

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь