По­сколь­ку дано ра­вен­ство углов ∠OBN = ∠NBC, имеет место один из двух слу­ча­ев:

• они равны как ори­ен­ти­ро­ван­ные углы, то есть N и C по раз­ные сто­ро­ны от OB,

• они про­ти­во­по­лож­ны как ори­ен­ти­ро­ван­ные углы, то есть N и C по одну сто­ро­ну от OB. Тогда O лежит на BC, от­ку­да угол ∠A пря­мой. В этом слу­чае A = B' = N, и пе­ре­се­че­ние пря­мых AA', MB', ON три­ви­аль­но. Далее этот слу­чай мы рас­смат­ри­вать не будем.

Имеем ∠CAA₁ = 90° − ∠C = ∠CBN = ∠NBO = α. По­сколь­ку O  — центр окруж­но­сти, ∠AOB = 2∠ACB = 180° − 2α, от­ку­да ∠BAO = ∠ABO = α, ана­ло­гич­но ∠ONB = α (рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник 4OBN). Как легко убе­дить­ся, H и N сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но AC (HN⊥AC и ∠ANC = 180° − ∠B = ∠A₁HC₁ = ∠AHC, так как BA₁HC₁ впи­сан­ный), так что ∠CAN = α. Обо­зна­чим через X точку пе­ре­се­че­ния ON и AA₁. До­ка­жем, что через неё про­хо­дит также и MB₁. По­сколь­ку ∠XAB1 = ∠XNB₁, четырёхуголь­ник AXB₁N впи­сан­ный, а тогда ∠AXN пря­мой и ∠NXB₁ = α. По­сколь­ку ∠AMO = ∠AXO = 90°, четырёхуголь­ник AMOX впи­сан­ный, а тогда ∠MAO = ∠MXO = α. Это озна­ча­ет, что точки M, X, B₁ лежат на одной пря­мой.