Гриша нарисовал на плоскости выпуклый 100-угольник и провел все его диагонали, и, о чудо, ни в какой точке кроме вершин 100-угольника не пересеклось больше двух отрезков. Сколькими способами Гриша может обвести маркером часть имеющихся на рисунке линий, чтобы получить треугольник (не обязательно состоящий из целых диагоналей и, быть может, содержащий внутри себя не обведенные линии)?
Найдём концы диагоналей, обведённые Гришей. Каждая диагональ имеет два конца, но некоторые концы могут совпадать, но не более двух в одной точке. Таким образом, мы получим от 3 до 6 вершин стоугольника. Найдём соответствующее количество треугольников.
Для трёх вершин количество треугольников равно количеству способов выбрать три различные вершины 
Для четырёх вершин пара соседних является cтороной треугольника
(другие две не совпадают, а лишь их содержат). Таким образом, количество равно 
Для пяти вершин нужно выбрать пять вершин и среди них одну, которая является вершиной треугольника. Таким образом, количество равно 
Для шестиугольника способ единственный после выбора шести вершин, то есть 
Итого, в сумме получаем 
Ответ: 