Всего: 215 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
следовательно, треугольник GFQ прямоугольный с прямым углом 
Но 
Значит, 
пря мой, но 
следовательно, 
тоже прямой, и смежный к нему 
тоже.
Она вторично пересекает прямую 
в точке 
и 
Но, поскольку 
также прямой, P и 
что и требовалось.Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, AD > BC). Окружность 
вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E так, что 
Найдите радиус окружности и площадь трапеции ABCD.
Пусть 
Тогда 
(касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны), а в силу того, что трапеция равнобедренная, 
Отсюда получаем, что сумма оснований есть 
Окружности 
и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
следовательно, 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, 
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, 
Окружность вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E так, что 
Найдите радиус окружности и площадь трапеции ABCD.
Пусть 
Тогда 
Отсюда получаем, что сумма оснований есть 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также 
и 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
Тогда по теореме косинусов для треугольника BPH получаем 
и 
Опуская из точки Q высоту QH на основание AO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором 
а из первого следует, что 
Решая эту систему уравнений, находим, что 
и 
Окружности и касаются внешним образом в точке F, а их общая внешняя касательная касается окружностей и соответственно в точках A и B. Прямая l проходит через точку B, вторично пересекает окружность в точке C, а также пересекает в точках D и E (точка D расположена между C и E). Общая касательная окружностей, проходящая через точку F, пересекает прямые AB и BE в точках P и H соответственно (точка H лежит между точками P и F). Известно, что 
Найдите длину отрезка HP и радиусы обеих окружностей.
и 
Опуская из точки Q высоту QH на основание AO, получаем прямоугольный треугольник OHQ, в котором 
По теореме Пифагора получаем 
Решая эту систему уравнений, находим, что 
и 
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, 
Окружность вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E, так что 
Найдите радиус окружности и площадь
находим, что 
Отсюда получаем, что сумма оснований есть 
Дана равнобокая трапеция ABCD (AD и BC — параллельны, Окружность вписана в угол BAD, касается отрезка BC в точке C и повторно пересекает CD в точке E, так что 
Найдите радиус окружности и площадь
В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD, и в каждый из полученных треугольников ABD и BCD вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA в точке M. При этом Аналогично, прямая, проходящая через вершину D и центр второй окружности, пересекает сторону BC в точке N. При этом
а) Найдите отношение AB : CD.
б) Найдите длины сторон AB и CD, если дополнительно известно, что данные окружности
касаются друг друга.
и 
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
и 
В треугольнике ABC сторона AC равна 6, а угол ABC равен 120° Окружность радиуса 3 касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника ANL.
следовательно, треугольник MOL — равносторонний, 
и 
Отсюда
откуда 
У треугольников 
и 
общая высота, проведённая из вершины L, поэтому их площади относятся как основания, т. е. как 
Следовательно, 
Отсюда следует, что 
В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD, и в каждый из полученных треугольников ABD и BCD вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA в точке M. При этом Аналогично, прямая, проходящая через вершину D и центр второй окружности, пересекает сторону BC в точке N. При этом 
а) Найдите отношение AB : CD.
б) Найдите длины сторон AB и CD, если дополнительно известно, что данные окружности
касаются друг друга.
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
и 
В треугольнике ABC сторона BC равна 4, а угол ACB равен 
Окружность Г радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника CMN.
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов 
откуда 
Отсюда следует, что 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность с диаметром 13 описана вокруг треугольника ABM, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 12. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.
и 
соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле 
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит, 
и 
как стороны ромба. Так как EK — диаметр, то 
и
Тогда 
находим, что 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность с диаметром 5 описана вокруг треугольника ABM, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. Так Ω вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка EM равна 4. Найдите длины отрезков BC, BK и периметр треугольника AKM.
(как стороны ромба). Так как EK — диаметр, 
Тогда 
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть P — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник CBD. Луч BP пересекает сторону DA в точке M, а луч DQ пересекает сторону BC в точке N. Оказалось, что 
и 
а) Найдите отношение 
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон AB и CD.
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
б) 
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть P — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник CBD. Луч BP пересекает сторону DA в точке M, а луч DQ пересекает сторону BC в точке N. Оказалось, что 
и 
а) Найдите отношение 
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон AB и CD.
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
б) 
Окружность с центром O, вписанная в треугольник PQR, касается его сторон PQ, QB и RP в точках C, A и B соответственно. Прямые BO и CO пересекают стороны PQ и PR в точках K и L соответственно. Найдите отношение 
если 
как касательные, проведённые к окружности из одной точки; 
—
а так как 
то и 
Пусть 
Тогда 
получаем, что 
—Окружность с центром O, вписанная в треугольник PQR, касается его сторон PQ, QB и RP в точках C, A и B соответственно. Прямые BO и CO пересекают стороны PQ и PR в точках K и L соответственно. Найдите отношение если 
получаем, что 
Окружность радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника CMN.
через 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому 
Так как угол 
лежит напротив меньшей стороны треугольника, то он острый. Из треугольника ACH получаем, что 
отсюда 
Отсюда следует, что 
