РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 215 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …

Добавить в вариант

Тип 0 № 1943 Добавить в вариант

Дан параллелограмм ABCD. Окружность касается стороны AC треугольника ABC, а также продолжения сторон BA и BC в точках P и S соответственно. Отрезок PS пересекает стороны DA и DC в точках Q и R. Докажите, что вписанная окружность треугольника CDA касается сторон AD и DC в точках Q и R.

Решение · Помощь

Тип 21 № 1990 Добавить в вариант

2.2 Пусть C и D совпали с точками касания окружностей и угла. Докажите, что угол R прямой.

Развернуть

Решение · Помощь

Тип 21 № 1863 Добавить в вариант

2.1 Пусть C и D совпали с точками касания окружностей и угла. Докажите, что угол R прямой.

Решение · Помощь

Тип 0 № 2106 Добавить в вариант

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка O. Окружность ω с центром в точке O пересекает отрезки AO и OB в точках K и L соответственно и касается сторон AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что точка пересечения отрезков KN и LM лежит на высоте AH треугольника ABC.

Решение.

Пусть отрезки KN и LM пересекаются в точке P, а Q  — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на AB. Можно считать, что точка Q лежит на отрезке OK. Прямоугольные треугольники OCN и OCM имеют равные катеты $O M=O N$ и общую гипотенузу OC, поэтому они равны и, в частности, $\angle C O M=\angle C O N.$ Таким образом,

$\angle C O N= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle M O N.$

Заметим далее, что угол KNL опирается на диаметр KL и, значит, $\angle K N L=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Поскольку в четырехугольнике QPNL противоположные углы PNL и PQL прямые, он является вписанным. Следовательно, $\angle P Q N=\angle P L N.$ Но угол PLN опирается на дугу MN, поэтому он равен половине этой дуги, т. е. половине угла MON. Таким образом,

$\angle P Q N=\angle P L N= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle M O N=\angle C O N .$

Из равенства углов

$\angle O C N=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C O N=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle P Q N=\angle O Q N$

следует, что четырехугольник QONC вписанный. Тогда сумма его противоположных углов равна 180°:

$\angle C Q O плюс \angle O N C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Стало быть, $\angle C Q O=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и прямая CQ перпендикулярна AB. Таким образом, точка Q совпадает с точкой H и P лежит на CH. А это и требовалось доказать.

Приведем другое решение. Положим для краткости $\angle C=2 гамма .$ Пусть отрезки KN и LM пересекаются в точке P, а Q  — точка пересечения прямых CP и AB. Поскольку CM и CN  — отрезки касательных от точки C до точек касания, $C M=C N$ и, значит, треугольник CMN равнобедренный. Тогда

$\angle C M N=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус гамма .$

Так как точки M и N  — точки касания,

$\angle C M O=\angle C N O=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

и, значит, $\angle M O N=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 гамма .$ Это центральный угол, опирающийся на дугу $\widehatM N,$ значит, вписанный угол MKP равен его половине. Таким образом,

$\angle M K P=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус гамма =\angle C M N.$

Поскольку KL  — диаметр окружности, опирающийся на него угол равен 90°, поэтому

$\angle P M K=\angle L M K=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Следовательно,

$\angle M P K=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle M K P= гамма$

$\angle M P N=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус гамма .$

Рассмотрим теперь описанную окружность треугольника MPN и ее центр точку X. Заметим, что

$\angle M X N=\widehatM P N=180 минус \angle M P N= гамма =\angle M C N.$

Кроме того, точки C и X лежат на серединном перпендикуляре к отрезку MN. Следовательно, они совпадают, и C  — центр описанной окружности треугольника MPN. Тогда $C M=C N=C P.$ Поскольку CN  — касательная к окружности,

$\angle C N P= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \widehatK M N=\angle K L N.$

С другой стороны, $\angle C P N=\angle C N P$ из равнобедренности треугольника NCP. Таким образом, $\angle C P N=\angle K L N$ и, значит, четырехугольник PQLN вписанный. Но тогда

$\angle P Q L=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle L N P=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Решение · Помощь

Тип 0 № 2112 Добавить в вариант

Вокруг четырехугольника ABCD описана окружность ω₁. Через точки A и B проведена окружность ω₂, пересекающая луч DB в точке $E не равно B.$ Луч CA пересекает окружность ω₂, в точке $F не равно A.$ Докажите, что если касательная к окружности ω₁ в точке C параллельна прямой AE, то касательная к окружности ω₂ в точке F параллельна прямой AD.

Решение · Помощь

Тип 0 № 2118 Добавить в вариант

Окружность $\omega$ описана вокруг остроугольного треугольника ABC. Касательная к окружности ω в точке C пересекает прямую AB в точке K. Точка M  — середина отрезка CK. Прямая BM вторично пересекает окружность $\omega$ в точке L, а прямая KL вторично пересекает окружность ω в точке N. Докажите, что прямые AN и CK параллельны.

Решение · Помощь

Тип 0 № 2166 Добавить в вариант

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. В точке C к этой окружности проведена касательная l. Окружность ω проходит через точки A и B и касается прямой l в точке P. Прямая PB пересекает отрезок CD в точке Q. Найдите отношение BC : CQ, если известно, что BD  — касательная к окружности ω.

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 2175 Добавить в вариант

1.2 Докажите, что $MN больше PQ.$

Развернуть

Решение · Помощь

Тип 21 № 2170 Добавить в вариант

Докажите, что если PQ и AC  — параллельны, то треугольник ABC равнобедренный.

Решение · Помощь

Тип 0 № 2182 Добавить в вариант

На прямой, проходящей через центр O окружности радиуса 12 см, взяты точки A и B, лежащие по разные стороны от точки O так, что OA  =  15 см, OB  =  13 см. Из точек A и B проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите площадь треугольника ABC, если C  — точка пересечения этих касательных.

Балл
20	Обоснованно получен правильный ответ.
15	Допущена арифметическая ошибка в конце решения задачи, либо какие-то действия недостаточно обоснованы (например, не указано, что радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, либо не указано, что две касательные к окружности, проведённые из одной точки, равны).
10	Найдены все стороны треугольника ABC и синусы углов A и B.
5	Найдены либо $sin меньше A$ и $sin меньше B,$ либо AK и BN, либо CK и CN.
0	Все остальные случаи.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2197 Добавить в вариант

Четырехугольник ABCD вписан в окружность ω, центр которой лежит на стороне АВ. Окружность ω₁ касается внешним образом окружности ω в точке C. Окружность ω₂ касается окружностей ω и ω₁ в точках D и E соответственно. Прямая В вторично пересекает окружность ω₁ в точке P, а прямая AD вторично пересекает окружность ω₂ в точке Q. Известно, что точки P, Q и E различны. Найдите угол PEQ.

Решение.

Так как $\angle B C O=\angle P C O_1,$ равнобедренные треугольники BOC и PO₁C подобны, откуда $\angle B O C=\angle P O_1 C.$ Аналогично проверяется, что $\angle A O D=\angle Q O_2 D.$ Тогда отрезки O₁P и O₂Q параллельны прямой AB и, значит, друг другу. Поэтому $\angle P O_1 E=\angle Q O_2 E.$ Таким образом, равнобедренные треугольники PO₁E и QO₂E подобны, откуда $\angle O_1 E P=\angle O_2 E Q.$ Значит, точка E лежит на отрезке PQ, что и дает ответ.

Ответ: 180°.

Приведем другое решение:

Отметим полезное свойство касающихся окружностей: если секущая UV проходит через точку T касания двух окружностей, то вписанные углы, опирающиеся на высекаемые ей дуги, равны. Действительно, поскольку вписанный угол равен углу между касательной и секущей, справедливы равенства

$\angle U U_1 T=\angle U T Y=\angle X T V=\angle V V_1 T$

(см. средний рисунок).

Обозначим точку пересечения AD и BC через R, а вторую точку пересечения AC с окружностью ω₁ через S. Пусть $\angle O O_1 O_2=2 альфа$ и $\angle O O_2 O_1=2 бета .$ Из равнобедренности треугольников O₁CE и O₂DE мы получаем, что $\angle O_1 E C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа ,$ $\angle O_2 E D=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус бета$ и

$\angle C E D=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle O_1 E C минус \angle O_2 E D= альфа плюс бета .$

C другой стороны, из суммы углов треугольника OO₁O₂ находим, что $\angle C O D=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 альфа минус 2 бета .$ Вписанный угол CAD  — половина центрального угла COD. Тогда $\angle C A D=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа минус бета$ и $\angle A C R=\angle A C B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ откуда $\angle C R D= альфа плюс бета .$

Таким образом, $\angle C R D=\angle C E D.$ Из вписанности четырехугольника PECS вытекает, что

$\angle P E C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle P S C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C A B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \angle R B A.$

Кроме того,

$\angle D E Q=\angle D B A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle R A B.$

Теперь мы можем найти угол PEQ:

$\angle P E Q=\angle P E C плюс \angle C E D минус \angle D E Q=\angle P E C плюс \angle C R D минус \angle D E Q=$
$= левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс \angle R B A правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle R A B минус \angle R B A правая круглая скобка минус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle R A B правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Общая схема:

Факторы, влияющие на оценку.

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2281 Добавить в вариант

Две равные окружности пересекаются в точках P и Q. Произвольная прямая, проходящая через Q, повторно пересекает окружности в точках A и B, а касательные к окружности в этих точках пересекаются в точке C. Докажите, что отрезки AQ и CB видны из точки P под одинаковыми углами.

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2331 Добавить в вариант

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через Q проведена прямая, перпендикулярная PQ, которая повторно пересекает окружности в точках A и B, а касательные к окружностям в этих точках пересекаются в точке C. Докажите, что отрезки AQ и CB видны из точки P под одинаковым углом.

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2339 Добавить в вариант

В треугольнике ABC углы A и B равны 45° и 30° соответственно, СM  — медиана. Окружности, вписанные в треугольники ACM и BCM касаются отрезка CM в точках D и E. Найдите площадь треугольника ABC, если длина отрезка DE равна $4 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 2339: 2372 Все

Решение · Помощь

Тип 0 № 2355 Добавить в вариант

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через Q проведена прямая, перпендикулярная PQ, которая повторно пересекает окружности в точках A и B (причем точка Q лежит между A и B), а касательные к окружностям в этих точках пересекаются в точке C. Докажите, что отрезки AQ и CB видны из точки P под одинаковыми углами.

Критерии проверки:

Вид погрешности или ошибки	Отметка в работе	Баллы
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, + в соответствии с критериями.
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения	+	10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	+	9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один  — три недочета или негрубая ошибка	±	7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено	∓	5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)	∓	3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато  — без ошибок	−	2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата	−	1
Задача не решилась	0	0
Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки:    I.  Логические, приводящие к неверному заключению.   II.  Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III.  Неверный чертеж в геометрических задачах. IV.  Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2372 Добавить в вариант

В треугольнике ABC углы A и B равны 45° и 30° соответственно, CM  — медиана. Окружности, вписанные в треугольники ACM и BCM касаются отрезка CM в точках D и E. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если длина отрезка DE равна $4 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 2339: 2372 Все

Решение · Прототип задания · Помощь

Тип 0 № 2374 Добавить в вариант

В остроугольном треугольнике ABC с наименьшей стороной AB провели высоты BB₁ и CC₁, они пересеклись в точке H. Через точку C₁ провели окружность ω с центром в точке H и окружность ω₁ с центром в точке C. Через точку A провели касательную к ω, касающуюся ее в точке K, а также касательную к ω₁, касающуюся ее в точке L. Найдите угол KB₁L.

Критерии проверки:

Общая схема:

Факторы, влияющие на оценку.

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2414 Добавить в вариант

В угол 60° вписана окружность радиуса 1. Вторая окружность касается сторон угла и первой окружности. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и одной из сторон угла.

Условия выставления	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обеих ситуациях	15
Обоснованно получен верный ответ только в одной из двух ситуаций	10
Сделаны существенные продвижения в решении задачи, например, хотя бы в одной из ситуаций, верно найден радиус второй окружности и отрезок FG (или равный ему отрезок), но не найден ни один верный ответ ни в одной из ситуаций	5
Остальные случаи	0

Аналоги к заданию № 2414: 2516 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 2418 Добавить в вариант

1.4 Докажите, что касательная к окружности $\omega_1$ в точке пересечения с медианой BM пресекает прямую AC в середине отрезка KL.

Развернуть

Решение · Помощь

Тип 21 № 2388 Добавить в вариант

1.1 Пусть точка T такова, что TL является биссектрисой треугольника ATC. Докажите, что тогда ТК является внешней биссектрисой того же треугольника.

Решение · Помощь

Тип 0 № 2462 Добавить в вариант

Дан треугольник ABC с меньшей стороной AB. На сторонах AB и AC выбраны соответственно точки X и Y так, что BX  =  CY. Под каким углом прямая, проходящая через центры описанных окружностей треугольников ABC и AXY, пересекает прямую BC, если $\angle ABC = бета$   и $\angle BCA = гамма ?$

Критерии проверки:

Общая схема:

Факторы, влияющие на оценку.

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2468 Добавить в вариант

Дан острый угол BAD, где точка D отлична от A. На луче AB произвольным образом выбирается точка X, также отличная от A. Пусть P  — точка пересечения касательных к описанной окружности треугольник ADX, проведенных в точках D и X. Найдите геометрическое место точек P.

Критерии проверки:

Общая схема:

Факторы, влияющие на оценку.

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 2516 Добавить в вариант

В угол BCA вписана окружность радиуса 1 с центром в точке ܱO₁. Синус угла O₁CA равен $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ Вторая окружность касается первой окружности и сторон угла. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и одной из сторон угла.

Критерии	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обеих ситуациях	15
Обоснованно получен верный ответ только в одной из ситуаций	10
Сделаны существенные продвижения в решении задачи, например, хотя бы в одной из ситуаций верно найден радиус второй окружности и отрезок FG (или равный ему отрезок), но не найден ни один верный ответ ни в одной из ситуаций	5
Все остальные случаи	0

Аналоги к заданию № 2414: 2516 Все

Решение · Прототип задания · Критерии · Помощь

Всего: 215 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …