РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2468 Добавить в вариант

Дан острый угол BAD, где точка D отлична от A. На луче AB произвольным образом выбирается точка X, также отличная от A. Пусть P  — точка пересечения касательных к описанной окружности треугольник ADX, проведенных в точках D и X. Найдите геометрическое место точек P.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим через С точку пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AD с лучом AB.

Пусть точка P построена по X в соответствии с условием. Докажем, что она лежит на луче с началом C, сонаправленным с AD. Заметим, что угол между касательной DP и хордой DX равен вписанному углу DAX, опирающемуся на дугу DX. Поэтому

$\angle A D C=\angle D A C=\angle P D X=\angle P X D.$

Возможны два случая.

1)  Точка C лежит между A и X (см. верхний рисунок). Тогда

$180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle D P X=2 \angle P D X=2 \angle D A C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle D C A=\angle D C X.$

Поэтому четырехугольник CDPX вписанный и

$\angle P C X=\angle P D X=\angle D A C.$

Значит, прямая CP параллельна стороне AD.

2)  Точка X лежит между A и C (см. нижний рисунок). Тогда

$\angle D C A=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 \angle D A C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 \angle P D X=\angle D P X.$

Поэтому четырехугольник CPDX вписанный, откуда

$180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle P C X=\angle P D X=\angle D A C.$

Значит, и в этом случае прямая CP параллельна стороне AD.

Пусть теперь точка P лежит на луче с началом C, сонаправленным с AD. Выберем на луче AC точку X так, чтобы она лежала внутри угла ADP и $\angle P D X=\angle D A C.$ Покажем, что такая точка X порождает P в соответствии с условием. Пусть $A X больше C X.$ Так как

$\angle P C X=\angle D A C=\angle P D X,$

четырехугольник CDPX вписанный, откуда

$\angle P X D=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle P D X минус \angle D P X=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C D A минус \angle D C A=\angle D A C=\angle P D X .$ $\angle P X D=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle P D X минус \angle D P X=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C D A минус \angle D C A=\angle D A C=\angle P D X .$

Проведем через точки A, D, X окружность. Она касается прямой DP, так как $\angle P D X=\angle D A C,$ и прямой XP, поскольку $\angle P X D=\angle P D X.$ Значит, точка X порождает точку P в соответствии с условием задачи. Случай $A X меньше или равно C X$ разбирается аналогично.

Ответ: луч, сонаправленный с лучом AD, начинающийся в точке пересечения AB и серединного перпендикуляра к отрезку AD.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности касающиеся, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь