Всего: 215 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Окружность 
радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника BKN.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому 
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов 
откуда 
Тогда площадь треугольника BKN равна 
Отсюда следует, что 
Дан параллелограмм ABCD. Окружность 
с радиусом 5 описана вокруг треугольника AMB, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка MK равна 6. Найдите длины отрезков AD, BK и периметр треугольника EBM.
и 
соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле 
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит, 
(как стороны ромба). Хорды 
и 
равны (т. к. равны соответствующие им дуги), 
Тогда 
и
Дан параллелограмм ABCD. Окружность с радиусом 17 описана вокруг треугольника AMB, где M — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. вторично пересекает луч CB и отрезок AD в точках E и K соответственно. Длина дуги AE в два раза больше длины дуги BM (дуги AE и BM не имеют общих точек). Длина отрезка MK равна 8. Найдите длины отрезков AD, BK и периметр треугольника EBM.
Следовательно, ABCD — ромб. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол AMB прямой и AB — диаметр окружности. Значит, 
(как стороны ромба). Хорды MK и BM равны (т. к. равны соответствующие им дуги), 
Тогда 
Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность радиуса 7.
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь
и 
либо 
и 
Второй случай невозможен, так как 
—
т. е. 
Тогда остаётся первый случай и 
Но четырёхугольник ABCD вписан в окружность, а значит, 
По свойству отрезков касательных к окружности 
то 
Плошать треугольника ACD 
и 
пусть 
По теореме Пифагора для треугольника ABC получаем 
и 
и площадь треугольника ABC равна 
Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна 
Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность радиуса 4.
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь четырёхугольника ABCD.
либо 
и 
пусть 
и 
и площадь треугольника ABC равна 
Значит, площадь четырёхугольника ABCD равна 
б) 
В треугольнике ABC угол при вершине A в два раза больше угла при вершине C. Через вершину B проведена касательная l к окружности 
описанной около треугольника ABC. Расстояния от точек A и C до этой касательной равны соответственно 4 и 9.
а) Найдите расстояние от точки A до прямой BC.
б) Найдите радиус окружности и длину стороны AB.
тогда 
По обобщённой теореме синусов находим, что 
и 
Отметим, что 
(иначе сумма углов треугольника больше 180°).
равен 
а угол между касательной и BC 
от точки A до касательной равно 
от точки C до касательной равно 
Torда 
и 
равно 
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса 7. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке).
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь четырёхугольника ABCD.
Следовательно, AC — диаметр окружности, 
касается его сторон AB и BC соответственно в точках M и N, а окружность, вписанная в треугольник ACD, касается его сторон AD и CD соответственно в точках L и G. Заметим, что при дополнительном условии 
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса 4. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD пересекаются в точке Q. Известно, что треугольники ADP и QAB подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке).
а) Найдите AC.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD касаются отрезка AC в точках K и T соответственно, причём 
(точка T лежит между K и A). Найдите угол DAC и площадь четырёхугольника ABCD.
paвна 
пусть 
получаем 
и площадь треугольника 
Найдите AC, если 
тогда 
По теореме о двух секущих 
откуда 
общий), а коэффициент подобия равен 
Найдите AB, если 
тогда 
По теореме о двух секущих 
откуда 
— общий), а коэффициент подобия равен 
точку касания вписанной окружности со стороной 
пусть 
и 
Torда M 
и 
как отрезки касательных. Также нетрудно подсчитать, что 
и 
Далее заметим, что точка K лежит либо вне описанной окружности треугольника 
либо на этой окружности, поэтому 
Мы знаем, чему равны углы, смежные к данным, поэтому легко можем вычислить и их самих: 
Откуда получаем неравенство 
Пусть H — основание этого перпендикуляра. Зафиксируем какой-нибудь треугольник ABC и обозначим через R вторую точку пересечения прямой PH с описанной окружностью треугольника PBC. Тогда степень точки H относительно этой окружности равна 
по свойству высоты в прямоугольном треугольнике. Следовательно, длина отрезка HR не зависит от выбора треугольника. Заметим к тому же, что точка H всегда лежит на отрезке BC, т. е. внутри описанной окружности PBC, а значит, точки R и P всегда будут лежать в разных полуплоскостях относительно прямой ℓ. 
должна пересекать прямую PH в точке, удаленной от P 
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке D. Отрезок BD повторно пересекает окружность в точке E. Точки F и G на окружности таковы, что
и 
Докажите, что прямая, соединяющая центры вписанных окружностей треугольников DEF и DEG, перпендикулярна биссектрисе угла B.
(Ф. Бахарев)
и 
—
а точка 
По свойству касательной 
поэтому треугольники BXE и BDX подобны и имеет место равенство 
И по аналогичным соображениям 
Но 
а значит, 
и 
Подставляя в последнее равенство, получаем, что 
и биссектриса угла GDF пересекает вторично вписанную в треугольник ABC окружность в точке E1. Тогда 
и 
Подставляя эти равенства в (∗), получаем 
т. е. 
что, очевидно, возможно только в том случае, когда DE1 делит XY пополам. В треугольнике ABC на стороне AB нашлась такая точка X, что
Точка Y симметрична центру I вписанной окружности треугольника ABC относительно точки X. Докажите, что YIB перпендикулярно AB, где IB — центр вневписанной со стороны AC окружности треугольника ABC.
(Ф. Бахарев)
и 
в частности, 
полупериметр треугольника ABC. Пусть D — точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны 
а E — точка касания вписанной окружности со стороной AB. Тогда 
перпендикулярно AB, поэтому достаточно показать, что DY перпендикулярно AB (в этом случае точки 
D и Y лежат на одной прямой и она перпендикулярна AB). Для этого проверим, что треугольники XDY и XIE равны по двум сторонам и углу (этого достаточно, поскольку 
по условию, 
как вертикальные, поэтому нужно линг проверить равенство сторон XD и XE. Для этого выразим их длины через x, y и z: 
Две окружности касаются внешним образом в точке K. На их общей внутренней касательной отмечена точка P таким образом, что KP = 14. Через точку P к окружностям проведены две секущие, причем одна из них высекает на первой окружности хорду AB = 45, а другая — на второй окружности хорду CD = 21, причем точка A лежит между точками B и P, а точка C — между точками D и P. Найдите отношение BC : AD.
Кроме того, 
и 
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Значит, 
Две окружности касаются внешним образом в точке K. На их общей внутренней касательной отмечена точка P таким образом, что KP = 18. Через точку P к окружностям проведены две секущие, причем одна из них высекает на первой окружности хорду AB = 48, а другая — на второй окружности хорду CD = 27, причем точка A лежит между точками B и P, а точка C — между точками D и P. Найдите отношение BC : AD.
В тетраэдре PABC проведена высота PH. Из точки H на прямые PA, PB и PC опущены перпендикуляры
и 
Плоскости ABC и 
пересекаются по прямой l. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что прямые OH и l перпендикулярны.
(А. Кузнецов)
лежат на одной окружности. Пусть T — точка пересечения прямых AB и 
Имеем 
—
Значит, прямая 
и есть эта радикальная ось. Она перпендикулярна линии центров OH.В неравнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса BB1. Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает окружность, описанную около треугольника AIC, в точках D и E. Точка F на отрезке B1C выбрана так, что AB1 = CF. Докажите, что точки B, D, E и F лежат на одной окружности.
описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку B. Тогда Ψ лежит на прямой 
Кроме того, по лемме о трезубце точка Ψ равноудалена от точек I, A и C, поэтому Ψ является центром описанной окружности треугольника AIC и Ψ лежит на отрезке ED. Пусть точка 
симметрична F относительно серединного перпендикуляра к DE. Очевидно, 
—
F лежат на одной окружности.
поскольку Ψ равноудалена от точек 
F, 
т. е. 
—
Из подобия треугольников 
и 
следует, что 
что равносильно равенству, 
B, D, E лежат на одной окружности.Из точки O выходят лучи l, l1, l2, угол между l и l2 острый, луч l1 лежит внутри этого угла. На луче l лежит фиксированная точка F и произвольная точка L. Через точки F и L проходят окружность, касающаяся луча l1 в точке L1, и окружность, касающаяся луча l2 в точке L2. Докажите, что окружность FL1L2 проходит через некоторую точку, отличную от точки F и не зависящую от выбора точки L.
Значит, серединный перпендикуляр к отрезку 
совпадает с биссектрисой угла 
Поэтому любая окружность, проходящая через точки 
и 
симметрична относительно этой биссектрисы. Значит, окружность, проходящая через точки 
и 
проходит через точку На продолжении стороны BC треугольник ABC взята точка D так, что прямая AD — касательная к описанной окружности 
треугольника ABC. Прямая AC пересекает описанную окружность треугольника ABD в точке E, причем AC : CE = 1 : 2. Оказалось, что биссектриса угла ADE касается окружности 
Найдите углы треугольника ABC.
Кроме того, вписанные углы ABD и AED опираются на хорду AD и потому равны. Тогда 
то есть треугольник ADE — равнобедренный. Поэтому биссектриса DK треугольника ADE является также его медианой и высотой. В частности, отрезок DK перпендикулярен основанию AE, откуда отрезок OL параллелен основанию AE. Тогда 
и равнобедренный треугольник ADL оказывается равно сторонним. Поэтому 
Тогда 
а оставшийся угол в треугольнике равен 
r — радиус ω, K и L — точки пересечения биссектрисы угла ADE с AE и ω соответственно. Угол между касательной AD к окружности ω и хордой AC равен вписанному углу, который опирается на AC, откуда 
Заметим, что 
Kроме того, 
и 