В тетраэдре PABC проведена высота PH. Из точки H на прямые PA, PB и PC опущены перпендикуляры
и 
Плоскости ABC и 
пересекаются по прямой l. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что прямые OH и l перпендикулярны.
(А. Кузнецов)
Заметим, что
так что точки A, B, 
лежат на одной окружности. Пусть T — точка пересечения прямых AB и 
Имеем
последнее равенство выполнено в силу того, что прямая TH касательная к сфере с диаметром PH, а 
—
Таким образом, точка T лежит на радикальной оси окружности, описанной около треугольника ABC, и точки H. На ней же лежат точки 
Значит, прямая 
и есть эта радикальная ось. Она перпендикулярна линии центров OH.