Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны AC в точке B1, а стороны BC в точке A1. На стороне AB нашлась такая точка K, что AK = KB1, BK = KA1. Докажите, что
(П. Затицкий, Ф. Петров)
Решение.
Обозначим через
точку касания вписанной окружности со стороной 
пусть 
и 
Torда M
в силу того, что 
и 
как отрезки касательных. Также нетрудно подсчитать, что 
и 
Далее заметим, что точка K лежит либо вне описанной окружности треугольника 
либо на этой окружности, поэтому 
Мы знаем, чему равны углы, смежные к данным, поэтому легко можем вычислить и их самих:
то есть 
Откуда получаем неравенство
