РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2166 Добавить в вариант

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. В точке C к этой окружности проведена касательная l. Окружность ω проходит через точки A и B и касается прямой l в точке P. Прямая PB пересекает отрезок CD в точке Q. Найдите отношение BC : CQ, если известно, что BD  — касательная к окружности ω.

Спрятать решение

Решение.

Угол между касательной BD и хордой AB окружности ω равен вписанному в нее углу, который опирается на AB, поэтому

$\angle A P B=\angle A B D=\angle A C D.$

Тогда четырехугольник APCQ вписанный, откуда $\angle C Q B=\angle C A P.$ При меняя еще два раза теорему о касательной и хорде, мы получим также равенства $\angle B C P=\angle B A C$ и $\angle B P C=\angle B A P.$ Тогда

$\angle C B Q=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C B P=\angle B C P плюс \angle B P C=\angle B A C плюс \angle B A P=\angle C A P=\angle C Q B .$ $\angle C B Q=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C B P=\angle B C P плюс \angle B P C=$
$=\angle B A C плюс \angle B A P=\angle C A P=\angle C Q B .$

Таким образом, треугольник BCQ равнобедренный, откуда $B C=C Q.$

Ответ: 1.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Олимпиада СПБГУ, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные, Методы геометрии. Вспомогательная окружность, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь