Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
выполняется неравенство
Используя известное неравенство о средних, получим 
Следовательно, получили 
Дана геометрическая прогрессия 
все члены которой положительны, а их сумма равна S. Известно, что если все её члены с номерами, кратными 3 (т. е. 
увеличить в 50 раз, сумма S увеличится в 10 раз. А как изменится S, если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. 
увеличить в 2 раза?
Если 
значит, сумма первых n членов прогрессии может быть посчитана по формуле 
... 
Отсюда 
раз.
или 
с дискриминантом, равным 
Значит, корни 
равны 
то есть 
и 
а неравенство принимает вид 
совпадает со знаком разности квадратов 
Дана геометрическая прогрессия 
..., 
..., 
...,
Отсюда 
Если увеличить все члены прогрессии с чётными номерами втрое, получаем 
раз.
раз.
или 
с дискриминантом, равным 
то есть 
а неравенство принимает вид 
и 
где 
(или 
или 
— 2 балла.
или 
Далее возможны четыре случая.
и 
В силу того, что 
выпукла вниз, а 
—
график 
Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых 
(так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы). 
целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком 
целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком 
Так как на отрезке [7; 69] лежат 
целочисленные точки, то 
Имеем: 
где 
или 
Далее возможны четыре случая.
и 
В силу того, что 
график 
(так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы). 
или 
равны 
или 
с дискриминантом, равным 
то есть 
и 
Найдите отношение 
Значения A, B, C, D, a и b не заданы.
—
и 
определены, причем 
а с учётом ОДЗ — при 
Если 
то у обоих неравенств левые и правые части неотрицательны, и их возведение в квадрат является равносильным преобразованием. Получаем 
получаем 
Объединяя результаты, окончательно находим, что 
Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если отношение суммы кубов всех её членов к сумме всех членов этой прогрессии равно 
а отношение суммы четвертых степеней членов к сумме квадратов членов этой прогрессии равно 
и знаменателем q равна 
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
поэтому при n, стремящемся к бесконечности, 
стремится к нулю, а сумма членов стремится к 
также образуют геометрическую прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
четвёртые степени членов — прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
а квадраты — прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
Суммы этих членов равны соответственно 
или 
Так как прогрессия является бесконечно убывающей, 
и 
определены, причем 
а с учётом ОДЗ — при 
Если 
то у обоих неравенств левые и правые части неотрицательны, и их возведение в квадрат является равносильным преобразованием. Получаем 
получаем 
Объединяя результаты, окончательно находим, что 
Известно, что отношение суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии к сумме кубов всех членов этой же прогрессии равно 
а отношение суммы четвёртых степеней всех членов к сумме квадратов всех членов этой прогрессии равно 
Найдите первый член и знаменатель указанной прогрессии.
или 
Так как прогрессия является бесконечно убывающей, 
Найдите отношение 
