Всего: 1000 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Вычислите сумму 
если
для 
В ответе укажите число 
Преобразуем исходное выражение:
Тогда
Отсюда 
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки — 3 балла.
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Так как то 
Используя известное неравенство о средних, получим
при условии, что 
то есть
Возведем в квадрат последнее неравенство и получим требуемое неравенство
Таким образом, неравенство доказано.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что 
для всех a, b, c > 0.
Преобразуем исходное выражение:
Обоснованно получено верное доказательство —10 баллов. Доказательство в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Доказаны некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла.
Найдите наибольшее значение параметра a, при котором неравенство
имеет хотя бы одно решение.
Если 
то решение данного неравенства существует. Так как нас интересует наибольшее значение a, при котором неравенство имеет решение, то далее следует искать, если такие положительные a. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом, учитывая, 
При любом 
и 
это выражение не меньше, чем 
так как 
при 
Правая часть не превосходит 
Таким образом, неравенство может иметь решение при 
то есть если 
Нас интересует наибольшее значение параметра a, поэтому пусть 
Тогда левая часть данного неравенства достигает минимального значения 
при x, удовлетворяющем условию 
то есть при 
и 
Правая часть данного неравенства при этих же значениях x 
и 
достигает значения 
Таким образом, 
есть искомое значение параметра.
Ответ: 
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получены некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла. Ответ получен подбором, но при этом есть хоть какие-то здравые рассуждения — 1 балл.
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Так как то 
Используя известное неравенство о средних, получим
при условии, что 
то есть
Возведем в квадрат последнее неравенство и получим требуемое неравенство
Таким образом, неравенство доказано.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Вычислите сумму:
Используя известную формулу
верную дли 
получим, что каждый из корней представим в виде:
Сложив все эти равенства, имеем
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Вычислите сумму:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 636.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Решить систему уравнений:
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 642.
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Функция f удовлетворяет равенству
для каждого значения x, не равного 0 и 1. Найдите 
Подставим в исходное равенство 
вместо x. Получим вместе с исходным равенством систему линейных уравнений относительно 
и 
Решая полученную систему, находим 
Следовательно,
Ответ: 2019.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Для любой пары чисел определена некоторая операция «*», удовлетворяющая следующим свойствам: 
и 
где операция «⋅» — операция умножения. Найдите корень x уравнения: 
Учитывая условие задачи, имеем 
Тогда
1) 
2) 
Следовательно, 
Ответ: 4036.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Всех пассажиров небольшого морского лайнера «Победа» в случае экстренной эвакуации можно разместить в 5-ти и 9-ти местных шлюпках, причем 9-ти местных шлюпок больше, чем 5-тиместных. Если число 9-ти местных шлюпок увеличить вдвое, то общее число шлюпок будет более 24, а если увеличить вдвое число 5-ти местных шлюпок, то общее число шлюпок будет меньше 27. Определите число пассажиров морского лайнера «Победа».
Пусть x, y — число 5-ти, 9-ти местных шлюпок соответственно, а z — число всех пассажиров. Тогда 
где x, y удовлетворяют системе неравенств:
Рассмотрим первые два неравенства системы более детально.
1) Умножая первое неравенство на 
имеем
Сложим эти два неравенства и получим 
следовательно, 
2) Умножая второе неравенство на (−2), имеем
Сложим эти два неравенства и получим 
следовательно, 
Далее перебор, удовлетворяющий системе неравенств и полученным ограничениям, а затем вычисление 
числа всех пассажиров (значения z расположены в ячейках на пересечении строк и столбцов для соответствующих x, y).
Ответ: 60 возможных вариантов приведены в таблице ниже.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Функция f удовлетворяет равенству
для каждого значения x, не равного 0 и 1. Найдите 
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 660.
Ответ: 2019.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Для любой пары чисел определена некоторая операция «*», удовлетворяющая следующим свойствам: и 
где операция «⋅» — операция умножения. Найдите корень xуравнения: 
Аналогичное решение этой задачи присутствует в варианте 1 под номером 662.
Ответ: 6057.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Всех пассажиров небольшого морского лайнера «Победа» в случае экстренной эвакуации можно разместить в 7-ми и 11-ти местных шлюпках, причем 11-ти местных шлюпок больше, чем 7-ми местных. Если число 11-ти местных шлюпок увеличить вдвое, то общее число шлюпок будет более 25, а если увеличить вдвое число 7-ми местных шлюпок, то общее число шлюпок будет меньше 29. Определите число пассажиров морского лайнера «Победа».
Пусть x, y — число 7-ти, 11-ти местных шлюпок соответственно, а z — число всех пассажиров. Рассмотрим первые два неравенства системы более детально.
1) Умножая первое неравенство на имеем
Сложим эти два неравенства и получим следовательно,
2) Умножая второе неравенство на имеем
Сложим эти два неравенства и получим 
следовательно, 
Далее перебор, удовлетворявший системе неравенств и полученным ограничениям, а затем вычисление 
—
Ответ: 60 возможных вариантов приведены в таблице ниже.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Разделим неравенство на 4, получим
Применим неравенство о средних к числам a и b, и к числам 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все значения m, при которых любое решение уравнения
принадлежит промежутку
Рассмотрим
На области определения 
функция монотонно возрастает, как сумма монотонно возрастающих функций. Уравнение 
имеет единственное решение. Это решение будет принадлежать промежутку
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Относительно квадратных трехчленов 
...,
известно, что каждый из них имеет по два корня. Обозначим через xi один из корней 
где 
Найдите значение
Так как 
то
Аналогично можно получить следующие равенства:
Складывая эти равенства, получим
Ответ: 0.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что для 
выполняется неравенство
Так как 
то 
Используя известное неравенство о средних, получим
при условии, что 
Следовательно, получили
Возведем в куб последнее неравенство и получим требуемое неравенство. Таким образом, неравенство доказано.
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Докажите, что для выполняется неравенство 
Разделим неравенство на 4, получим
Применим неравенство о средних к числам a и b, и к числам 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Найдите все значения m, при которых любое решение уравнения
принадлежит промежутку [1 ; 6].
Рассмотрим
На области определения 
функция монотонно возрастает, как сумма монотонно возрастающих функций. Уравнение имеет единственное решение. Это решение будет принадлежать промежутку
Ответ: 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 7 | Полное обоснованное решение. |
| 6 | Обоснованное решение с несущественными недочетами. |
| 5−6 | Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений. |
| 4 | Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев. |
| 2−3 | Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи. |
| 1 | Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении. |
| 0 | Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. |
Наверх